Teorema de Pick

El teorema de Pick es una fórmula que relaciona el área de un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras (los polígonos reticulares)[1]​ con el número de puntos en su interior y en su borde (frontera) que tengan también coordenadas enteras.

El teorema de Pick establece que: Sea un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras.

Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:

Para una versión más general del teorema el "−1" de la fórmula puede ser reemplazado con "

Sin embargo, existe una generalización en dimensiones superiores mediante polinomios de Ehrhart.

La fórmula también se generaliza a la superficie de los poliedros.

Considera un polígono P y un triángulo T con una arista en común con P. Asumimos que el teorema de Pick es cierto de forma independiente tanto para P como para T; queremos mostrar que también se obtiene añadiendo T a P. Dado que P y T comparten una arista, todos los puntos del borde a lo largo de la arista en común se añaden como puntos interiores, excepto los dos puntos en los extremos que se añaden como puntos en el borde.

Para terminar la prueba por inducción, se debe demostrar entonces que el teorema es cierto para cualquier triángulo.

Cualquier triángulo T puede inscribirse un rectángulo R con lados paralelos a los ejes añadiendo como mucho tres triángulos rectángulos U, V, W (con hipotenusas en las aristas de T no paralelas a alguno de los ejes).