En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide an - bn y no divide ak-bk por ningún entero positivo k
El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.
[2][3] El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.
una secuencia de enteros distintos de cero.
El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto
no tiene divisores primos primitivos
{\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ no tiene divisores primos primitivos}}\}.}
es decir, el conjunto de índices
tal que cada primo dividiendo
Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que
, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es
En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier[4] demostraron que, en general, si
es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces
(ver OEIS: A285314,[5] solo hay 13
Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.
es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy
[6] Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en
, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en