Teorema integral de Kirchhoff

El teorema integral de Kirchhoff (a veces conocido como el teorema integral de Fresnel-Kirchhoff)[1]​ se sirve de las identidades de Green para deducir la solución de la ecuación de onda homogénea en un punto arbitrario P en términos de los valores de la solución de la propia ecuación de onda y su derivada de primer orden en todos los puntos sobre una superficie arbitraria que encierra a P.[2]​ La integral tiene la siguiente forma para una onda monocroma:[2]​[3]​ donde la integración se realiza sobre una superficie arbitraria S (que incluye a r), s es la distancia desde el elemento de superficie al punto r, y ∂/∂n denota la diferencial en la superficie normal (una derivada direccional).

En esta ecuación se han tenido en cuenta los puntos normales dentro del volumen considerado; si se usa el vector normal exterior, más habitual, la integral tiene el signo opuesto.

Se puede deducir una forma más general para las ondas no monocromáticas.

, y se obtiene la siguiente expresión:[2]​ donde los corchetes en los términos en V denotan valores retardados, es decir, los valores en el instante t - s/c.

Kirchhoff demostró que la ecuación anterior se puede aproximar en muchos casos a una forma más simple, conocida como la fórmula de la difracción de Kirchhoff, o de Fresnel–Kirchhoff, que es equivalente al Principio de Fresnel - Huygens, pero proporciona una fórmula para el factor de inclinación, que no se define en este último.