) sobre operadores lineales valorados en espacios vectoriales topológicos (EVTs).
En X e Y habrá espacios vectoriales topológicos (EVTs) sobre el cuerpo
Si M es un subespacio vectorial de un EVT X, entonces Y tiene la propiedad de extensión de M a X si cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión lineal continua para todo X.
Si X e Y son espacios vectoriales normados, entonces se dice que Y tiene la propiedad de extensión métrica de M a X si se puede elegir que esta extensión lineal continua tenga una norma igual a | f |.
1-extensiones Si M es un subespacio vectorial del espacio normado X sobre el cuerpo
, entonces un espacio normado Y tiene la propiedad inmediata de 1-extensión de M a X si para cada x ∉ M, cada aplicación lineal continua f : M → Y tiene una extensión
Un espacio localmente convexo Y es inyectivo[1] si para cada espacio localmente convexo Z que contiene Y como un subespacio vectorial topológico, existe una proyección continua desde Z hasta Y.
Un espacio de Banach Y es 1-inyectivo[1] o un espacio P1 si para cada espacio de Banach Z contiene Y como un subespacio vectorial normado (es decir, la norma de Y es idéntica a la restricción habitual a Y de la norma de Z), existe una proyección continua de Z a Y que tiene la norma 1.
Para que un EVT Y tenga la propiedad de extensión, debe ser completo (ya que debe ser posible extender la función identidad
[1] Si f : M → Y es un aplicación lineal continua desde un subespacio vectorial M de X a un espacio de Hausdorff completo Y, entonces siempre existe una extensión lineal continua única de f desde M hasta el cierre de M en X.
[1][2] En consecuencia, basta con considerar únicamente aplicaciones de subespacios vectoriales cerrados a espacios completos de Hausdorff.
[1] Cualquier espacio localmente convexo que tenga la propiedad de extensión es inyectivo.
[1] Teorema[1]Supóngase que Y es un espacio de Banach sobre el campo
Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: Si además, Y es un espacio vectorial sobre los números reales, entonces se puede agregar a esta lista: Teorema[1]Supóngase que Y es un espacio de Banach real con la propiedad de extensión métrica.
Productos del cuerpo subyacente Supóngase que
su topología producto habitual, lo que lo convierte en un EVT de Hausdorff localmente convexo.