Transformaciones de Laguerre
[1][2][3][4] Al estudiar estas transformaciones, los números duales a menudo se interpretan como representantes de lines orientado en el plano.
Los puntos de este cilindro están en un función biyectiva natural con líneas orientadas en el plano.
se encuentra en la línea proyectiva de números duales y
con el eje x, y cuyo raíz de una función se denota
, se representa mediante el número dual Lo anterior no tiene sentido cuando la línea es paralela al eje x.
Esto se debe a que si tres líneas orientadas pasan por el mismo punto, sus imágenes bajo una transformación de Laguerre no tienen por qué encontrarse en un punto.
La única excepción es un círculo de radio cero, que tiene una orientación igual a
Un punto se define como un círculo orientado de radio cero.
La tangencia entre líneas y círculos se define de manera similar.
Tanto la geometría Möbius geometry como la de Laguerre son subgeometrías de Lie sphere geometry, donde los puntos y las líneas orientadas se pueden asignar entre sí, pero se conserva la tangencia.
expresan movimientos de cuerpos rígidos (a veces llamados "isometrías euclidianas directas").
Consulte la Figura 2 para observar el efecto en una cuadrícula de líneas (incluido el eje x en el medio) y la Figura 3 para observar el efecto en dos círculos que difieren inicialmente solo en la orientación (para ver que el resultado es sensible a la orientación).
En conjunto, una transformación general de Laguerre en forma matricial se puede expresar como
Esto contrasta con los números duales, que representan líneas orientadas en el plano euclidiano.
El plano elíptico es esencialmente una esfera (pero donde se identifican punto antipodal) y, por tanto, las líneas son gran círculo.
con el ecuador en el punto de intersección, puede representarse mediante el número complejo
(donde la línea es literalmente la misma que el ecuador, pero orientada en la dirección opuesta a
Si el papel de los números duales o complejos se cambia al número complejo hiperbólico, entonces se puede desarrollar un formalismo similar para representar líneas orientadas en el geometría hiperbólica en lugar de los planos euclidianos o elípticos: un número complejo dividido se puede escribir en la forma
Dado que el límite del plano hiperbólico es homeomorfismo a recta proyectiva
El análogo de las matrices unitarias sobre los números complejos divididos es el isometries of the hyperbolic plane.
[1] Además, el conjunto de transformaciones fraccionarias lineales se puede descomponer de una manera que se asemeja a la descomposición en valores singulares, pero que también la unifica con Jordan decomposition.
Estas transformaciones son exactamente aquellas que conservan una especie de distancia al cuadrado entre círculos orientados llamada Darboux product.
, entonces son posibles representaciones algebraicas de Clifford análogas en dimensiones superiores.
manteniendo el mismo grupo de transformación, entonces los puntos en el infinito son planos orientados.
Tenga en cuenta que incluso en 2 dimensiones, el primer grupo de transformación es más general que el segundo: un homotecia, por ejemplo, asigna líneas orientadas a líneas orientadas, pero en general no conserva el producto de Darboux.
Ahora considere la acción de esta transformación en dos círculos: uno es simplemente el punto
Cuando actúan sobre coordenadas lineales, las transformaciones de Laguerre "no" se entienden como conformes en el sentido aquí descrito.
Cuando un rayo y= mx, x ≥ 0 y el eje x positivo se toman como lados de un ángulo, pendiente (matemática) m es la magnitud de este ángulo.
Otros ángulos en el plano se generan mediante dicha acción y, dado que el mapeo de corte preserva el área, el tamaño de estos ángulos es el mismo que el original.
Tenga en cuenta que la inversión z a 1/z deja invariante el tamaño del ángulo.
