Trisectriz caracol
La forma de esta trisectriz también se puede obtener a partir de otras curvas, como la rosa polar, la concoide, la epitrocoide o el óvalo cartesiano.
La trisectriz caracol especificada en coordenadas polares toma la forma La constante
son simétricas entre sí respecto a la recta
La trisectriz caracol se compone de dos bucles.
Como una rosa, la curva tiene la estructura de un solo pétalo con dos bucles que está incrustado en el círculo
y es simétrico con respecto al eje polar.
La curva inversa de esta rosa es una trisectriz, ya que tiene la misma forma que la trisectriz de Maclaurin.
En teoría, un ángulo se puede trisecar utilizando un método con cualquiera de las propiedades, aunque las consideraciones prácticas pueden limitar su uso.
La construcción del bucle exterior de
Aquí, se examina la propiedad trisectriz de la porción del bucle exterior por encima del eje polar, es decir, definida en el intervalo
Dada esta construcción, se muestra que
de la siguiente manera: La mitad superior del bucle exterior puede trisecar cualquier ángulo central de
que está en el dominio del bucle exterior.
[5] Aquí, se examina el bucle interno de
que se encuentra por encima del eje polar, que se define en el intervalo de ángulo polar
que se encuentra en el círculo unitario con el centro en el polo,
, que es la ecuación polar (Nota: el arcotangente de dos parámetros (y, x) da el ángulo polar del punto de coordenadas cartesianas (x, y)) Dado que la línea normal a
Con respecto al caracol, el rango de ángulos polares
que define el bucle interno es problemático, porque el rango de ángulos polares sujetos a trisección cae en el rango
Además, en su dominio original, las coordenadas radiales del bucle interno no son positivas.
Luego, el bucle interno se redefine de manera equivalente dentro del rango de ángulo polar de interés y con coordenadas radiales no negativas como
está determinada por La última ecuación tiene dos soluciones, la primera es:
, el eje polar, una recta que interseca ambas curvas pero no en el círculo unitario
La mitad superior del bucle interior puede trisecar cualquier ángulo central de
que está en el dominio del bucle redefinido.
triseca el segmento de línea recta en el eje polar que sirve como su eje de simetría.
Dado que el bucle externo se extiende hasta el punto
y el bucle interno hasta el punto
es tres veces la longitud que va desde el polo hasta el otro extremo del bucle interior en el segmento rectilíneo.
La trisectriz caracol es un caso particular del óvalo cartesiano, cuya ecuación general se obtiene como el lugar geométrico de los puntos S tales que el producto de sus distancias a dos polos fijos (P y Q) es constante para el caso en el que m = a / d(P,Q), coincidente con el caracol de Pascal.
