Klavžar nació en Liubliana y es un jugador formado en el Helios Suns.
En 2018, con apenas 14 años disputó el Europeo Sub-16 con Eslovenia.
Klavžar fue el único jugador de la generación de 2004 en todo el torneo y acabó cómo segundo máximo anotador (11,9 puntos) y asistente (2,1) de su selección.
El 24 de agosto de 2018, firmó por el Real Madrid y se incorporó al Cadete B del conjunto blanco.
[1] En la temporada 2020-21 Klavžar forma parte del equipo junior del Real Madrid.