Comenzó su carrera actuando en musicales de Broadway, como Jesus Christ Superstar, Seesaw y Nine, por el que recibió una nominación a los premios Tony.
[1] Durante su carrera, Morris tuvo papeles protagonistas en varias películas, como The Hotel New Hampshire (1984), Absolute Beginners (1986), Ruthless People (1986), Aria (1987), 18 Again!
Su número emblemático en Nine fue "A Call from the Vatican", y también cantó "Simple", al final del segundo acto.
Otros trabajos cinematográficos incluyen The Happy Hooker (1975), Maria's Lovers (1984), Absolute Beginners (1986) con David Bowie, Blue City (1986) con Judd Nelson, Ruthless People (1986) con Danny DeVito y Bette Midler, 18 Again!
(1988) con George Burns, Bloodhounds of Broadway (1989) con Madonna y Matt Dillon, A Sinful Life (1989), Martians Go Home (1989) con Randy Quaid, Off and Running (1991) con Cyndi Lauper, Little Miss Millions (1993) con Jennifer Love Hewitt, Me and the Kid (1993) y Radioland Murders (1994), que fue su último papel en el cine.