En análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, una aplicación casi abierta[1] entre espacios topológicos es una función que satisface una condición similar, pero más débil, a la condición de ser una aplicación abierta.
Como se describe a continuación, para ciertas categorías amplias de espacios vectoriales topológicos, todos los operadores lineales sobreyectivos son necesariamente casi abiertos.
Dada un aplicación sobreyectiva
se llama punto de apertura para
; y se dice que
(o una aplicación abierta en
Un aplicación sobreyectiva se denomina abierta si está abierta en cada punto de su dominio, mientras que se denomina casi abierta cuando cada una de sus fibras tiene algún punto de apertura.
Explícitamente, se dice que un aplicación sobreyectiva
Cada sobreyección casi abierta es necesariamente una aplicación pseudoabierta (concepto introducido por Alexander Arhangelskii en 1963), lo que por definición significa que para cada
{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatorname {Int} _{X}U}
es necesariamente un entorno de
entre dos espacios vectoriales topológicos (EVT) se llama aplicación lineal casi abierta si para cualquier entorno
es un entorno del origen.
Es importante destacar que algunos autores utilizan una definición diferente de "aplicación casi abierta", en la que, en cambio, requieren que la aplicación lineal
satisfaga que: para cualquier vecindad
) es un entorno del origen.
En este artículo no se utilizará esta definición.
es casi abierta, entonces debido a que
es un subespacio vectorial de
que contiene un entorno del origen en
es necesariamente una función sobreyectiva.
Por este motivo, muchos autores exigen la sobreyectividad como parte de la definición de "casi abierto".
es un operador lineal biyectivo, entonces
es casi abierto si y solo si
[2] Cada aplicación abierta sobreyectiva es también casi abierta, pero en general, lo contrario no es necesariamente cierto.
{\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}
es un aplicación casi abierta, entonces será abierta si satisface la siguiente condición (una condición que hace que no dependa de la topología
): Si la aplicación es continua, entonces la condición anterior también es necesaria para que sea abierta.
es una sobreyección continua, entonces es una aplicación abierta si y solo si es casi abierta y satisface la condición anterior.
Los dos teoremas anteriores no requieren que la aplicación lineal sobreyectiva satisfaga condición topológica alguna.