Afirma que un operador lineal acotado bijective T de un espacio de Banach a otro tiene una aplicación inversa acotada T−1.
Teorema[1]Si A : X → Y es una biyección lineal continua de un espacio vectorial topológico pseudometrizable completo (EVT) a un EVT de Hausdorff que es un espacio de Baire, entonces A : X → Y es un homeomorfismo (y por lo tanto, un isomorfismo de EVT).
Por ejemplo, considere el espacio X de sucesiones x : N → R con solo un número finito distinto de cero términos equipados con la norma del supremo.
Para ver que no es completo, considérese la secuencia de secuencias x(n) ∈ X dada por converge como n → ∞ a la secuencia x(∞) dada por que tiene todos sus términos distintos de cero y, por lo tanto, no se encuentra en X.
Para ver esto, basta con observar que la secuencia es un elemento de