En matemáticas, los términos arbitrariamente grande, arbitrariamente pequeño y arbitrariamente largo se utilizan en enunciados para aclarar el hecho de que una determinada entidad puede ser tan grande, pequeña o larga respectivamente como se desee, con pocas limitaciones o restricciones.
La declaración es una abreviatura de: En el lenguaje común, el término arbitrariamente grande (o arbitrariamente largo en su caso) se usa a menudo en el contexto de las secuencias de números.
Por ejemplo, decir que hay "progresiones aritméticas de números primos arbitrariamente largas" no significa que exista una progresión aritmética infinitamente larga de números primos (no la hay), ni que exista una progresión aritmética particular de números primos que sea en algún sentido " arbitrariamente larga".
Más bien, la frase se usa para referirse al hecho de que no importa lo grande que sea el número "
[1] Similar a arbitrariamente grande, también se puede definir la expresión "
se cumple para números reales arbitrariamente pequeños", de la siguiente manera:[2] En otras palabras: Si bien es similar, arbitrariamente grande no es equivalente a suficientemente grande.
Por ejemplo, si bien es cierto que los números primos pueden ser arbitrariamente grandes (dado que hay una cantidad infinita de ellos según se demuestra en el teorema de Euclides), no es cierto que todos los números suficientemente grandes sean primos.
Por ejemplo, aunque los números primos pueden ser arbitrariamente grandes, no existe un número primo infinitamente grande, ya que todos los números primos (así como todos los demás enteros) son finitos.
En estos casos, la expresión arbitrariamente grande no tiene el significado indicado anteriormente (es decir, "no importa lo grande que sea el número, dado que habrá 'algún' número mayor para el cual