Cíclido de Dupin
Fueron descritos por primera vez por Charles Dupin (1784-1873) en su disertación de 1803 tutorada por Gaspard Monge.
Fueron investigados no solo por Dupin, sino también por Arthur Cayley y por James Clerk Maxwell.
Hoy en día, se usan en diseño asistido por computadora (CAD), porque los sectores de cíclido tienen representaciones racionales y son adecuados para mezclar superficies de canales (cilindros, conos, toros y otros).
, se pueden definir como las imágenes bajo cualquier inversión de toros, cilindros y conos dobles.
estas tres últimas variedades se pueden hacer corresponder entre sí por inversión, por lo que los cíclidos de Dupin se pueden definir como inversiones del toro (o el cilindro, o el doble cono).
Como un toro estándar es la órbita de un punto bajo un subgrupo abeliano bidimensional del grupo de Möbius, se deduce que los cíclidos también lo son, y esto proporciona una segunda forma de definirlos.
Una tercera propiedad que caracteriza a los cíclidos de Dupin es que sus líneas de curvatura son todas circunferencias (en algunos casos, pasando a través del punto del infinito).
Otra propiedad especial de un cíclido es: Un cíclido elíptico se puede representar de forma paramétrica mediante las siguientes fórmulas (s. Weblinks): Los números
u = c o n s t
v = c o n s t
, es decir, la elipse es un círculo y la hipérbola degenera en una recta.
Los cíclidos correspondientes son toros de revolución.
Un cíclido parabólico puede ser generado mediante la siguiente representación paramétrica: El número
Una representación implícita correspondiente es Observación: al representar los círculos, aparecen espacios que son causados por la restricción necesaria de los parámetros
Una ventaja para analizar los cíclidos es la propiedad: La inversión respecto a la esfera con la ecuación
se puede describir analíticamente mediante: Las propiedades más importantes de una inversión con respecto a una esfera son: Es posible generar superficies arbitrarias mediante una inversión.
Las fórmulas anteriores dan en cualquier caso representaciones paramétricas o implícitas de la superficie imagen, si las superficies se dan de forma paramétrica o implícita.
a) Debido a que las líneas que no contienen el origen se asignan mediante una inversión en una esfera (en la imagen: magenta) con círculos que contienen el origen, la imagen del cilindro es un cíclido de anillo con círculos que se tocan mutuamente en el origen.
A medida que las imágenes de los segmentos de línea, que se muestran en la imagen, aparecen en los segmentos de círculo de línea como imágenes, las esferas que tocan el cilindro en el lado interno se distribuyen sobre un primer haz de esferas que generan el cíclido como superficie del canal.
Las imágenes de los planos tangentes del cilindro se convierten en el segundo haz de esferas que toca el cíclido.
b) El segundo ejemplo invierte un cilindro que contiene el origen.
Las líneas que pasan por el origen se transforman en sí mismas.
De ahí que la superficie sea ilimitada, y se genere un cíclido parabólico.
La imagen del cono es un cíclido de doble asta.
Ambos haces de círculos en el toro (que se muestran en la imagen) están aplicados en los correspondientes haces de círculos en el cíclido.
Por lo tanto, es una superficie cuártica en coordenadas cartesianas, con una ecuación de la forma: donde Q es una matriz de 3x3, P y R son vectores tridimensionales, y A y B son constantes.
Se pueden obtener muchas otras geometrías ciclídicas estudiando la separación R de las variables para la ecuación de Laplace.
