Encontrar un supremo significa seleccionar un elemento mínimo distinguido del conjunto de límites superiores.
Por lo tanto, cada propiedad de completitud tiene su dual, que se obtiene invirtiendo las definiciones dependientes del orden en la declaración dada.
Algunas de las nociones no suelen estar dualizadas, mientras que otras pueden ser autoduales (es decir, equivalentes a sus enunciados duales).
Pero este es solo el menor elemento de todo el conjunto parcialmente ordenado, si lo tiene, ya que convencionalmente se considera que el subconjunto vacío de un conjunto parcialmente ordenado P está acotado tanto desde arriba como desde abajo, con cada elemento de P siendo un límite superior e inferior del subconjunto vacío.
Otros nombres comunes para el elemento mínimo son inferior y cero (0).
La noción dual, el límite inferior vacío, es el elemento mayor, superior o unidad (1).
Los conjuntos parcialmente ordenados que tienen una parte inferior a veces se llaman puntiagudos,[3] mientras que los conjuntos parcialmente ordenados con una parte superior se llaman unitarios o rematados.
Sin embargo, esto no debe confundirse con la noción de completitud limitada que se presenta a continuación.
Un orden en el que todos los conjuntos finitos no vacíos tienen tanto un supremo como un mínimo se llama retículo.
Basta con exigir que existan tanto el elemento supremo como el ínfimo de cualquier pareja de elementos para concluir que todos son finitos no vacíos.
Los conjuntos parcialmente ordenados con esta propiedad son los denominados retículos completos.
Sin embargo, utilizando el orden dado, se puede restringir a otras clases de subconjuntos (posiblemente infinitos) que no produzcan esta fuerte completitud de inmediato.
La noción dual rara vez considerada para un opdc es el conjunto parcialmente ordenado completo filtrado.
Aunque los conceptos con los nombres "completo" y "acotado" ya estaban definidos, es poco probable que se produzca confusión, ya que rara vez se hablaría de un "conjunto parcialmente ordenado completo acotado" cuando se quiere decir un "opc acotado" (que es simplemente un "opc con un elemento mayor").
[9] Nuevamente, este concepto rara vez se necesita en su forma dual.
Ya se ha observado que los encuentros/juntas binarios producen todos los encuentros/juntas finitos no vacíos.
Asimismo, muchas otras (combinaciones) de las condiciones anteriores son equivalentes.
Al imponer condiciones adicionales (en forma de identidades adecuadas) a estas operaciones, se puede deducir el orden parcial subyacente exclusivamente a partir de tales estructuras algebraicas.
Los detalles sobre esta caracterización se pueden encontrar en los artículos sobre las estructuras "similares a retículos" para las que normalmente se consideran las condiciones detalladas en los artículos siguientes: retículo, semirretículo, álgebra de Heyting y álgebra booleana.
Como primer ejemplo simple, sea 1 = {*} un conjunto especificado de un elemento con el único orden parcial posible.
Una pequeña reflexión muestra ahora que e tiene un adjunto inferior si y solo si X es un retículo completo.
[14] Como antes, otra situación importante se produce siempre que esta aplicación del supremo es también un adjunto superior: en este caso, el retículo completo X es constructivamente completamente distributivo.