Conjunto vacío
Desde principios del siglo XX, en la matemática, particularmente en la teoría axiomática de Conjuntos de ZF o la teoría intuitiva de conjuntos, el conjunto vacío es el que no posee elemento alguno.
La historia del conjunto vacío puede rastrearse hasta los primeros fundamentos de la teoría de conjuntos en el siglo XIX.
[1] Aunque Cantor no definió explícitamente el conjunto vacío, su trabajo sentó las bases para desarrollos posteriores.
Trataba los conjuntos como colecciones de objetos y estaba interesado en las propiedades de estas colecciones, lo que preparó el terreno para tratamientos más rigurosos de los conjuntos y sus elementos.
La primera mención explícita del conjunto vacío apareció con los trabajos de Richard Dedekind y Giuseppe Peano,[2] quienes, basándose en las ideas de Cantor, estaban formalizando los fundamentos de la aritmética y el álgebra.
Dedekind, en particular, estaba interesado en definir los números en términos de conjuntos.
Su trabajo sobre los números naturales incluyó definir el 0 como el conjunto vacío ∅, lo que marcó un momento importante en el desarrollo del concepto.
[3] Esta visión vinculaba el conjunto vacío directamente con la idea de "nada", ya que representaba la ausencia de elementos en una colección.
Sin embargo, no fue hasta principios del siglo XX, con el desarrollo de la teoría formal de conjuntos por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, que el conjunto vacío se integró completamente en un marco matemático riguroso.
Los axiomas de Zermelo-Fraenkel[5] incluyen un axioma de "extensionalidad", que esencialmente afirma que los conjuntos están determinados por sus elementos, y un axioma del "conjunto vacío", que garantiza la existencia de un conjunto sin elementos.
La inclusión del conjunto vacío como un objeto fundamental en la teoría de conjuntos tiene consecuencias de gran alcance en las matemáticas modernas.
Sirve como el bloque de construcción para conjuntos más complejos y es crucial para comprender la estructura de objetos matemáticos, como funciones, relaciones y espacios topológicos.
Su utilidad se extiende a casi todas las ramas de las matemáticas, desde la lógica hasta la topología, y es esencial en la formalización de demostraciones matemáticas, donde el conjunto vacío a menudo representa un caso base o la condición nula en definiciones inductivas y recursivas.
[6] Otra notación común para el conjunto vacío es la notación extensiva, especificando sus elementos (ninguno) entre llaves: El conjunto vacío
Expresión analítica : Sea el conjunto en el espacio vectorial R
[7] Es necesario y legítimo hablar de «el conjunto vacío» y no de «un conjunto vacío».
Muchas afirmaciones sobre el conjunto vacío son trivialmente ciertas, debido a la siguiente propiedad: Sea una propiedad expresada mediante un predicado (como «ser mortal» o «ser un número primo»).
Entonces todos los elementos del conjunto vacío poseen esa propiedad.
Este teorema es cierto porque el conjunto vacío no tiene elementos, y decir «todo hombre en ∅ es inmortal» es lo mismo que afirmar que «no hay ningún hombre mortal en ∅», y esto último es trivialmente cierto.
[12] Cuando se ve como un subconjunto de los valores reales extendidos formados al agregar dos "números" o "puntos" a los números reales (es decir, infinito negativo, denotado
En otras palabras, el límite superior más pequeño (sup o supremum) del conjunto vacío es infinito negativo, mientras que el límite inferior más grande (inf o infimum) es infinito positivo.
Por analogía con lo anterior, en el dominio de los valores reales extendidos, el infinito negativo es el elemento idéntico para los operadores máximo y supremo, mientras que el infinito positivo es el elemento identidad para los operadores mínimo e ínfimo.
Esto se conoce como "preservación de uniones nulas".
En la construcción ordinal de von Neumann, 0 se define como el conjunto vacío, y el sucesor del ordinal se define como
[13] La construcción de Von Neumann, junto con el axioma del infinito, que garantiza la existencia de al menos un conjunto infinito, puede usarse para construir el conjunto de números naturales,
se utilizó en definiciones; por ejemplo, Cantor definió dos conjuntos como disjuntos si su intersección tiene ausencia de puntos; sin embargo, es discutible si Cantor consideró
Sin embargo, el axioma del conjunto vacío puede mostrarse redundante al menos de dos maneras: Aunque el conjunto vacío es un concepto matemático estándar y ampliamente aceptado, sigue siendo una curiosidad ontológica, cuyo significado y utilidad debaten filósofos y lógicos.
Darling (2004) explica que el conjunto vacío no es nada, sino «el conjunto de todos los triángulos con cuatro lados, el conjunto de todos los números que son mayores que nueve pero menores que ocho, y el conjunto de todas las movimientos de apertura en ajedrez que implican un rey.»[15] El silogismo popular se utiliza a menudo para demostrar la relación filosófica entre el concepto de nada y el conjunto vacío.
Según Darling, la primera equivale a «El conjunto de todas las cosas que son mejores que la felicidad eterna es ∅ » y la segunda a «El conjunto {sándwich de jamón} es mejor que el conjunto ∅ ».
[15] El filósofo Jonathan Lowe sostiene que si bien el conjunto vacío también es el caso que: George Boolos argumentó que mucho de lo obtenido hasta ahora por la teoría de conjuntos puede obtenerse con la misma facilidad mediante cuantificación plural sobre individuos, sin reificar conjuntos como entidades singulares que tienen otras entidades como miembros.
