A pesar de los importantes progresos realizados, la conjetura sigue sin estar resuelta.
En esos casos, la densidad conjeturada es siempre un múltiplo racional de CArtin.
La conjetura afirma que el conjunto de los números primos p para los cuales 2 es una raíz primitiva tiene la densidad anteriormente citada CArtin.
[3] Roger Heath-Brown mejoró sus resultados y mostró incondicionalmente que hay, como mucho, dos números primos excepcionales a para los cuales la conjetura de Artin falla.
[4] Este resultado no es constructivo, en lo que se refiere a las excepciones.