Contracción (geometría)

Contracción (también denominada compresión, aplanado o aplastado) en álgebra lineal es un tipo de aplicación lineal que conserva el área euclídea de regiones definidas en coordenadas cartesianas, pero que no es una rotación ni un cizallamiento.

Algunas ideas sobre los logaritmos provienen de los sectores hiperbólicos, que mantienen una correspondencia por permutación mientras conservan su área por aplanado.

Téngase en cuenta que la notación "SO+" corresponde al hecho de que las reflexiones no están permitidas, aunque conservan la forma (en términos de x e y estos son x ↦ y, y ↦ x y x ↦ −x, y ↦ −y); el adicional "+" en el caso hiperbólico (en comparación con el caso circular) es necesario para especificar el componente de identidad porque el grupo O(1,1) tiene 4 componentes conexos, mientras que el grupo O(2) tiene 2 componentes: SO(1,1) tiene 2 componentes, mientras que SO(2) solo tiene 1.

Estas aplicaciones son algo irrelevantes en comparación con sus implicaciones en física y en filosofía.

Formalmente, un aplastamiento preserva la métrica hiperbólica expresada en la forma xy; en un sistema de coordenadas diferente.

Teorema (Grégoire de Saint-Vincent 1647) Si bc = ad, entonces la cuadratura de la hipérbola xy = 1 contra la asíntota tiene áreas iguales entre a y b que entre c y d. Prueba: un argumento que suma y resta triángulos de área ½, un triángulo de coordenadas {(0,0), (0,1), (1,1)}, muestra que el área del sector hiperbólico es igual al área sobre la asíntota.

Teorema (Alfonso Antonio de Sarasa 1649) A medida que el área medida contra la asíntota aumenta en progresión aritmética, las proyecciones sobre la asíntota aumentan en secuencia geométrica.

Por lo tanto, las áreas forman logaritmos del índice de la asíntota.

Por ejemplo, para un ángulo de posición estándar que se extiende desde (1, 1) hasta (x, 1/x), se puede preguntar "¿Cuándo el ángulo hiperbólico es igual a uno?"

La progresión geométrica corresponde al índice asintótico obtenido con cada suma de áreas que es una progresión aritmética prototípica A + nd, donde A = 0 y d = 1.