Derivada covariante exterior

Sea G un grupo de Lie y P → M sea un fibrado principal sobre G en una variedad diferenciable M. Supóngase que hay una conexión en P; esto produce una descomposición de suma directa natural

de cada espacio tangente en los subespacios horizontal y vertical.

Si ϕ es una k-forma en P con valores en un espacio vectorial V, entonces su derivada covariante exterior Dϕ es una forma definida por donde los vi son vectores tangentes a P en u. Supóngase que ρ : G → GL(V) es una representación de G en un espacio vectorial V.

Si ϕ es una forma tensorial k de tipo ρ, entonces donde, siguiendo la notación empleada en las operaciones sobre una forma diferencial valorada en un álgebra de Lie, se escribe A diferencia de la derivada exterior habitual, que eleva el cuadrado a 0, la derivada covariante exterior no lo hace.

En general, se tiene, para una forma cero tensorial ϕ, donde F= ρ(Ω) es la representación sobre

Téngase en cuenta que D2 desaparece para una conexión plana (es decir, cuando Ω= 0).

Si ρ : G → GL(Rn), entonces se puede escribir donde

cuyas entradas son 2-formas en P se llama matriz de curvatura.

Dado un haz de vectores reales suaves E → M con conexión ∇ y rango r, la derivada covariante exterior es una aplicación lineal real en formas diferenciales con valores vectoriales que se valora en E: La derivada covariante es una aplicación de este tipo para k = 0.

Las derivadas covariantes exteriores extienden esta aplicación al caso de k general.

Hay varias formas equivalentes de definir este objeto: En el caso del haz de rectas reales trivial ℝ × M → M con su conexión estándar, las formas diferenciales con valores vectoriales y las formas diferenciales se pueden identificar naturalmente entre sí, y cada una de las definiciones anteriores coincide con la derivada exterior estándar.

Las formas diferenciales valoradas en el paquete de vectores pueden identificarse naturalmente con las formas tensoriales completamente antisimétricas en el espacio total del paquete principal.

Es un hecho fundamental, pero no inmediatamente evidente, que F(s)p: TpM × TpM → Ep solo depende de s(p) y lo hace de forma lineal.

Es un hecho bien conocido que la composición de la derivada exterior estándar consigo misma es cero: d(dω) = 0.

En el contexto actual, se puede considerar que esto dice que la conexión estándar en el haz de líneas trivial ℝ × M → M tiene curvatura cero.