Diferencia entre dos números primos consecutivos
El n-ésimo espacio entre primos consecutivos, denotado como gn o g(pn), es la diferencia entre el (n + 1)-ésimo y el n-ésimo número primo, es decir, Se tiene que g1 = 1, g2 = g3 = 2 y g4 = 4.
La sucesión entera (gn) de los espacios entre números primos consecutivos ha sido ampliamente estudiada, aunque muchas cuestiones y conjeturas en las que interviene siguen sin respuesta.
es el producto de todos los números enteros positivos hasta n inclusive.
Por lo tanto, forman una sucesión de n − 1 números enteros compuestos consecutivos, y debe pertenecer a un espacio entre primos que tenga un valor de al menos n. De ello se deduce que hay huecos entre primos consecutivos que son arbitrariamente grandes, es decir, para cualquier número entero N, hay un número entero m tal que gm ≥ N. Sin embargo, los huecos entre primos consecutivos de valor n pueden presentarse en números mucho más pequeños que n!.
Esto es una consecuencia del teorema de los números primos.
Desde un punto de vista heurístico, se espera que la probabilidad de que la razón de la longitud del espacio con respecto al logaritmo natural sea mayor o igual que un número positivo fijo k sea e−k.
se denomina mérito del espacio entre primos gn.
[6] Si se descartn los valores anómalamente altos de la razón para los primos 2, 3, 7, entonces el mayor valor conocido de esta razón es 0,9206386 para el primo 1693182318746371.
Se dice que gn es un espacio máximo, si gm < gn para todo m < n. Desde octubre de 2024, el espacio máximo entre primos más grande conocido tiene una longitud de 1676, y fue hallado por Brian Kehrig.
Se supone que la sucesión de espacios máximos hasta el primo
La longitud real del hueco puede ser mucho mayor o menor que este valor.
Sin embargo, se puede deducir del teorema de los números primos que los huecos se hacen arbitrariamente más pequeños en proporción a los primos: el cociente en otras palabras (por la definición de límite), para cada
Hoheisel obtuvo el valor posible de 32999/33000 para θ, mejorado a 249/250 por Heilbronn,[14] y a θ = 3/4 + ε, para cualquier ε > 0, por Chudakov.
[15] Una mejora importante se debe a Ingham,[16] quién demostró que para alguna constante positiva c, Aquí, O se refiere a la notación de la O mayúscula, ζ denota la función zeta de Riemann y π hace referencia a la función contador de números primos.
[17] La hipótesis de Lindelöf implicaría que la fórmula de Ingham es válida para cualquier número positivo c. Pero incluso esto no sería suficiente para implicar que hay un número primo entre n2 y (n + 1)2 para n suficientemente grande (véase la conjetura de Legendre).
Para verificar esto, se necesitaría un resultado más sólido como la conjetura de Cramér.
[18] Un resultado, debido a Baker, Harman y Pintz en 2001, muestra que θ puede tomarse como 0,525.
Otro aspecto de interés es el tamaño mínimo del hueco.
[22] En noviembre de 2013, James Maynard introdujo un nuevo refinamiento del tamiz GPY, lo que le permitió reducir el límite a 600 y también demostrar que los huecos entre primos separados por m están acotados para todos los m. Es decir, para cualquier m existe un límite Δm tal que pn+m − pn ≤ Δm para una cantidad infinita de n.[23] Usando las ideas de Maynard, el proyecto Polymath mejoró el límite a 246;[22][24] asumiendo la conjetura de Elliott–Halberstam y su forma generalizada, el límite se ha reducido a 12 y 6, respectivamente.
[25] Paul Erdős ofreció un premio de 10.000 dólares por una demostración o refutación de que la constante c en la desigualdad anterior puede tomarse arbitrariamente grande.
[26] Ford–Green–Konyagin–Tao y, de forma independiente, James Maynard demostraron que esto era correcto en 2014.
[29] Dando continuidad al espíritu del premio original de Erdős, Terence Tao ofreció 10.000 dólares por una prueba de que c puede tomarse arbitrariamente grande en esta desigualdad.
[30] También se han determinado límites inferiores para cadenas de primos.
[31] Como ya se ha comentado, el mejor límite probado para los tamaños de huecos es
El primer grupo plantea la hipótesis de que el exponente se puede reducir a
[34]) En el mismo artículo, conjeturó que los espacios primos son mucho más pequeños.
La conjetura de Firoozbakht es ligeramente más fuerte, y afirma que
La conjetura de Polignac afirma que cada número par positivo k aparece como un hueco entre primos infinitamente.
La conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor específico de k, pero las mejoras en el resultado de Zhang discutidas anteriormente prueban que es verdadera para al menos un valor (actualmente desconocido) de k ≤ 246.
La brecha gn entre el nésimo y el (n+ 1)º número primo es un ejemplo de función aritmética.
