Ecuación podal
Para un curva plana C y un punto fijo dado O, la ecuación podal de la curva es una relación entre r y p, donde r es la distancia desde O a un punto en C y p es la distancia perpendicular desde O a la tangente a C en el punto considerado.
También es útil medir la distancia de O a la normal
(la coordenada contrapodal) aunque no es una cantidad independiente y se relaciona con
Estas coordenadas también son adecuadas para resolver ciertos tipos de problemas de fuerza en mecánica clásica y mecánica celeste.
Para C dada en coordenadas cartesianas por f (x, y) = 0, y con O tomado como origen, las coordenadas podales del punto (x, y) están dadas por:[1] La ecuación podal se puede encontrar eliminando x e y de estas ecuaciones y de la ecuación de la curva.
La expresión para p se puede simplificar si la ecuación de la curva se escribe en coordenadas homogéneas introduciendo una variable z, de modo que la ecuación de la curva sea g (x, y, z) = 0.
El valor de p viene dado por[2] donde el resultado se obtiene para z = 1 Para C dada en coordenadas polares por r = f(θ), entonces donde ψ es el ángulo tangencial polar dado por La ecuación podal se puede deducir eliminando θ de estas ecuaciones.
es la coordenada "contrapodal", es decir, la distancia a la normal.
Esto implica que si una curva satisface una ecuación diferencial autónoma en coordenadas polares de la forma: su ecuación de podal se convierte en Como ejemplo, tómese la espiral logarítmica con el ángulo en espiral α: Diferenciando con respecto a
se obtiene por lo tanto y así en coordenadas podales resulta o utilizando el hecho de que
se obtiene Este enfoque puede generalizarse para incluir ecuaciones diferenciales autónomas de cualquier orden de la siguiente manera:[4] Una curva C, solución de una n-ésima ecuación diferencial autónoma (
) en coordenadas polares es la podaria de una curva dada en coordenadas de podales por donde la diferenciación se hace con respecto a
corresponde al momento angular de la partícula y
Por lo tanto, se ha obtenido la ecuación de una sección cónica en coordenadas podales.
Inversamente, para una curva dada C, se puede deducir fácilmente qué fuerzas hay que imponer sobre una partícula de prueba para moverse sobre ella.
Para una espiral sinusoidal descrita según la fórmula el ángulo tangencial polar es que produce la ecuación podal La ecuación podal para un numerosas curvas conocidas se puede obtener dando a n valores específicos:[6] Una curva espiral de la forma satisface la ecuación y así se puede convertir fácilmente en coordenadas podales como Los casos especiales incluyen: Para una epi o hipocicloide dada por ecuaciones paramétricas la ecuación podal con respecto al origen es[7] o[8] con Los casos especiales que se obtienen al establecer b = a⁄n para valores específicos de n incluyen: Otras ecuaciones podales son:[9]
