Elipsógrafo
Un elipsógrafo es un instrumento mecánico que permite trazar elipses con un movimiento continuo.
Según Dominique Raynaud, la atribución de este elipsógrafo a Arquímedes es infundada.
[1] En ocasiones se le atribuye a Proclo,[2] porque este geómetra griego cita la propiedad utilizada en su comentario de Euclides.
[3] Este elipsógrafo se basa en la siguiente propiedad: si se considera un segmento [AD] de longitud a y un punto C sobre el segmento [AD] tales que AC=b, el lugar geométrico de los puntos A cuando los puntos C y D se mueven respectivamente sobre dos rectas perpendiculares es una elipse de semiejes a y b.
, las coordenadas (x,y) del punto A cumplen las condiciones: que definen la ecuación parametrizada de una elipse.
Todos los puntos en un círculo con un diámetro definido por los dos pivotes se mueven alternativamente en tales líneas rectas.
Se colocan los tornillos de manera que AC=b y AD=a, luego se gira la regla para que los tornillos queden siempre en contacto con los lados del cuadrado, y la punta con el trazador dibuja entonces la elipse de semiejes a y b, después de repetir la operación cuatro veces con la regla (una para cada arco).
Los dos círculos comparten el mismo diámetro (estriado) y se fijan mediante tuercas para que la distancia entre los centros sea constante.
Retomó el principio expuesto por Proclo para generalizarlo a cualquier punto de la recta y propuso un sistema articulado.
Por el contrario, si M es un punto de la elipse, si se denomina B al punto situado sobre el eje de ordenadas, en el mismo cuadrante que M, y tal que BM=a, y si A es el punto de intersección de (BM) y el eje de abscisas, se demuestra fácilmente, por un razonamiento análogo al anterior, que MA=b El elipsógrafo de Van Schooten[10] simplifica el proceso al considerar un sistema articulado OIA en el que El punto O es fijo, el punto A se mueve en línea recta y arrastra a los puntos I y M.[3] Este elipsógrafo, el segundo presentado por van Schooten,[11] utiliza un polígono articulado, un antiparalelogramo que consiste en un cuadrilátero con dos de sus lados opuestos cruzados F1ABF2, y cuyos lados son iguales dos a dos.
Esta herramienta también permite especificar en cada punto la posición de la tangente a la elipse materializada aquí por la línea recta (AC).
En la figura opuesta, los puntos A y B se deslizan hacia la derecha (d).
Este elipsógrafo, patentado por Franz Otto Kopp en 1993,[16] permite dibujar pero también recortar elipses.
[17] Consta de dos ruedas dentadas del mismo radio y un pantógrafo.
El tercer punto (M) dibuja entonces una elipse cuando una de las ruedas dentadas gira, impulsando a su vecina.
En el sistema de coordenadas con centro C y eje (d)=(CCb), los afijos de los puntos A y B se pueden expresar mediante el ángulo θ, las distancias
Sobre este tema se puede citar el elipsógrafo descrito en 1879 por Jean Gaston Darboux y construido por Breguet,[22] inspirado en el trazador ideado por Harry Hart.
La aplicación del teorema de Pascal proporciona un método para construir la cónica en cuestión.
[26] También se puede dibujar una elipse usando un compás cónico, cuyo brazo SP que comprende la punta seca P es de longitud constante d, el segundo brazo SC es de longitud variable y está diseñado para que la punta C permanezca siempre en contacto con el plano trazador.
Los focos son geométricamente construibles gracias a las esferas de Dandelin.
En cambio, es más complejo utilizar el compás cónico para dibujar una elipse cuyas características son fijas.
[28] El punto P debe entonces colocarse a una distancia del centro O de la elipse que satisfaga Los primeros compases cónicos, llamados compases perfectos, fueron estudiados a partir del siglo X por los matemáticos de lengua árabe Abū Sahl al-Qūhī, Al-Sijzi (primera construcción probada), Alhacén y Al-Biruni entre otros.
[28] El interés del compás frente al sistema articulado es que permite trazar elipses cuyos parámetros pueden variar continuamente.
[34] Consiste en dos lanzaderas que están confinadas en dos canales o rieles perpendiculares entre sí, y en una varilla que está unida a las lanzaderas mediante pivotes en posiciones fijas en la varilla.
Así mismo, se han reeditado versiones modernas del mecanismo en juguetes de construcción como el Lego.
