La equipolencia suele presentarse en el marco de la geometría plana (implícitamente euclídea).
Primero, se introduce la noción de vector enlazado o segmento orientado, caracterizado por: Al comparar vectores enlazados, se observa que algunos de ellos son "iguales", excepto en su origen.
Cuando dos vectores enlazados son equipolentes, se puede ver que sus extremos forman un paralelogramo.
Es posible generalizar la definición anterior a cualquier conjunto que no sea vacío, gracias a la siguiente definición axiomática: Sea E un conjunto no vacío.
Considérese en E×E una relación de equivalencia denotada por “~”, que verifica los dos axiomas siguientes: (E1): Para todo a, b, c en E, existe un d único en E tal que ( a, b)~(c, d).
Para definir la suma de dos vectores se necesitan los siguientes lemas: Lema 1Una clase de equivalencia nunca está vacía Lema 2Para todo a, b, c, p, q, r en E, si (a, b)~(p, q) y (b, c)~(q, r), entonces (a, c)~(p, r).
El Lema 2 también se puede expresar de la forma siguiente: Considérense ahora dos vectores generalizados arbitrarios,
Éstos son, por definición, clases de equivalencia; según el Lema 1, existen por tanto cuatro puntos a, b, p y q tales que: Según (E1), existe por tanto uno y solo un c tal que: Resulta entonces conveniente plantear por definición que: Pero esto solo tiene sentido si la suma así definida es compatible con la relación de equipolencia de la que proceden los vectores generalizados, es decir si el vector procedente del bipunto (a, c) ya no depende de que sean a o c, pero solo en los vectores