En matemáticas, se dice que dos métricas sobre los de mismo conjunto subyacente son equivalentes si los espacios métricos resultantes comparten ciertas propiedades.
La equivalencia es una noción más débil que la isometría, y las métricas equivalentes no tienen por qué ser literalmente iguales.
Más bien, es una de varias formas de generalizar la equivalencia de normas a espacios métricos generales.
indicará un conjunto no vacío y
Se dice que las dos métricas
A menudo se omite el adverbio topológicamente.
[1] Hay múltiples formas de expresar esta condición: Las siguientes son condiciones suficientes pero no necesarias para la equivalencia topológica: Dos métricas
en X son fuertemente, equivalentemente bilipschitzianas o uniformemente equivalentes si y solo si existen constantes positivas
tales que, para cada
, En contraste con la condición suficiente para la equivalencia topológica mencionada anteriormente, la equivalencia fuerte requiere que haya un único conjunto de constantes que se cumpla para cada par de puntos en
, en lugar de constantes potencialmente diferentes asociadas con cada punto de
Una equivalencia fuerte de dos métricas implica equivalencia topológica, pero no al revés.
son topológicamente equivalentes, pero no fuertemente equivalentes.
De hecho, este intervalo está acotado según una de estas métricas pero no según la otra.
Por otro lado, las equivalencias fuertes siempre hacen corresponder conjuntos acotados a conjuntos acotados.
Cuando X es un espacio vectorial y las dos métricas
son las inducidas por las normas
, respectivamente, entonces la equivalencia fuerte es equivalente a la condición de que, para todo
, Para operadores lineales entre espacios vectoriales normados, la continuidad lipschitziana es equivalente a la continuidad.
Un operador que satisface cualquiera de estas condiciones se llama acotado.
[3] Por lo tanto, en este caso,
son topológicamente equivalentes si y solo si son fuertemente equivalentes, y simplemente se dice que las normas
En espacios vectoriales de dimensión finita, todas las métricas inducidas por una norma, incluidas la distancia euclidiana, la geometría del taxista y la distancia de Chebyshov, son equivalentes.