Esfera de Riemann
En matemática, la esfera de Riemann (o plano complejo extendido), llamada así en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, es una esfera obtenida del plano complejo mediante la adición de un punto del infinito.
La esfera es la representación geométrica de los números complejos extendidos, denotado como
,[1] (véase fig.1 y fig.2), la cual consiste en los números complejos ordinarios en conjunción con el símbolo
Los números complejos extendidos son comunes en análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, en el sentido de hacer expresiones bien definidas tales como: Por ejemplo, cualquier función racional sobre el plano complejo puede ser extendida como una función continua sobre la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeados al infinito.
También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y de la geometría, como puede ser la mecánica cuántica y otras ramas de la física.
, pero como esta notación también se utiliza para el plano perforado
La suma de números complejos puede extenderse si se define, para
, y la multiplicación se define como para todos los números complejos distintos del cero
no poseen un factor común) pueden ser estendidas a una función continua en la esfera de Riemann.
El conjunto de funciones racionales complejas cuyo símbolo matemático es
En otras palabras, (casi) cada punto en la esfera de Riemann tiene tanto un valor
La esfera de Riemann también puede definirse como la recta proyectiva compleja'.
También es conveniente para estudiar los automorfismos de la esfera, más adelante en este artículo.
Para ello, consideremos la proyección estereográfica desde la esfera unidad menos el punto
Es necesaria una orientación-reversión para mantener una orientación consistente en la esfera, y en particular la conjugación compleja hace que los mapas de transición sean holomorfos.
Una superficie de Riemann no viene equipada con ninguna métrica riemanniana en particular.
(Se dice que dos métricas son conformemente equivalentes si difieren en la multiplicación por una función suave positiva).
A la inversa, cualquier métrica sobre una superficie orientada determina unívocamente una estructura compleja, que depende de la métrica sólo hasta equivalencia conformacional.
En particular, siempre existe una métrica completa con curvatura constante en cualquier clase conforme.
, la fórmula es Hasta un factor constante, esta métrica coincide con la métrica de Fubini-Study estándar en el espacio proyectivo complejo (del que la esfera de Riemann es un ejemplo).
Hasta el escalamiento, ésta es la única métrica en la esfera cuyo grupo de isometrías que preservan la orientación es tridimensional (y ninguno es más que tridimensional); ese grupo se llama
En este sentido, ésta es, con mucho, la métrica más simétrica de la esfera.
Todas estas métricas determinan la misma geometría conforme.
Por tanto, la métrica redonda no es intrínseca a la esfera de Riemann, ya que la "redondez" no es un invariante de la geometría conforme.
Sin embargo, si uno necesita hacer geometría de Riemann en la esfera de Riemann, la métrica redonda es una opción natural (con cualquier radio fijo, aunque el radio
, un grupo continuo ("Lie") que es topológicamente el espacio proyectivo tridimensional
Las transformaciones de Möbius son homografías en la recta proyectiva compleja.
Como mapa a los números complejos, es indefinido siempre que
Esta construcción es útil en el estudio de funciones holomorfas y meromorfas.
Por ejemplo, en una superficie de Riemann compacta no hay mapas holomorfos no constantes a los números complejos, pero los mapas holomorfos a la recta proyectiva compleja son abundantes.
