En matemáticas, un espacio de Riesz, espacio vectorial ordenado en retículo o retículo vectorial es un espacio vectorial parcialmente ordenado, en el que la estructura de orden es un retículo.
Los espacios de Riesz también se han aplicado en economía matemática a través del trabajo del economista y matemático greco-estadounidense Charalambos D. Aliprantis.
es un retículo vectorial preordenado si y solo si satisface cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes: Un espacio de Riesz o un retículo vectorial es un retículo vectorial preordenado, cuyo preorden es un orden parcial.
De manera equivalente, es un espacio vectorial ordenado cuyo preorden es un retículo.
De ahora en adelante, se asume en el artículo que cada espacio de Riesz y cada retículo vectorial es un espacio vectorial ordenado, pero que un retículo vectorial preordenado no está necesariamente parcialmente ordenado.
En un espacio vectorial real ordenado, todo intervalo de la forma
[3] De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que
[3] El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado
se llama de orden completo si para cada subconjunto
Este espacio está ordenado en un retículo mediante la comparación puntual habitual, pero no se puede escribir como ℝκ para ningún cardinal κ.
[6] Por otro lado, la epi mono factorización en la categoría de espacios vectoriales ℝ también se aplica a los espacios de Riesz: cada espacio vectorial ordenado en retículo es inyectivo en un cociente de ℝκ por un subespacio sólido.
[2] Los complementos disjuntos son siempre bandas, pero lo contrario no es cierto en general.
[2] Cada espacio de Riesz es un retículo distributivo, es decir, tiene las siguientes propiedades[nota 1] equivalentes:[8] para todos los
se define como un ideal con la propiedad adicional de que para cualquier elemento
Los ideales se definen de manera similar, con las palabras 'subconjunto arbitrario' reemplazadas por 'subconjunto numerable'.
Al igual que con los ideales, para cada subconjunto no vacío
Un retículo vectorial es completo si cada subconjunto tiene tanto un supremo como un mínimo.
Un retículo vectorial es completo de Dedekind si cada conjunto con un límite superior tiene un supremo y cada conjunto con un límite inferior tiene un mínimo.
(es importante tener en cuenta que este supremo se toma en
) es un retículo vectorial bajo el orden inducido, pero no es un subretículo de
[5] Esto se produce a pesar de que
es un orden completo arquimediano con un retículo vectorial topológico.
proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado, en el que
al que se le da el ordenamiento del subespacio canónico heredado de
El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial, denotado por
existen espacios vectoriales ordenados para los cuales no se cumple la igualdad de conjuntos.
es un funcional lineal distinto de cero en un retículo vectorial
, entonces las siguientes expresiones son equivalentes: Un rayo extremo del cono
se les da sus respectivas topologías de orden.
Ninguna de las implicaciones inversas se cumple, pero la completitud