En análisis funcional, un homomorfismo topológico o simplemente homomorfismo (si el contexto así lo permite) es un concepto análogo al de homomorfismo en general, pero particularizado para la categoría de los espacios vectoriales topológicos (EVTs).
Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional, y el teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.
Un homomorfismo topológico es una aplicación lineal continua
entre espacios vectoriales topológicos (EVTs) de modo que la aplicación inducida
), se le da la topología del subespacio inducida por
[1] Este concepto es de considerable importancia en el análisis funcional y el conocido teorema de la función abierta da una condición suficiente para que una aplicación lineal continua entre espacios de Fréchet sea un homomorfismo topológico.
Un embebido de EVT o un monomorfismo topológico[2] es un homomorfismo topológico inyectivo.
De manera equivalente, un embebido de EVT es una aplicación lineal que también es un embebido topológico.
es un aplicación lineal entre EVTs, teniendo además en cuenta que
se puede descomponer en la composición de las siguientes aplicaciones lineales canónicas: donde
es la clase de equivalencia canónica y
Los siguientes enunciados son equivalentes: Si además el rango de
es un espacio de Hausdorff de dimensión finita, entonces las proposiciones siguientes son equivalentes: Teorema[1]Sea
una aplicación lineal continua sobreyectiva de un espacio LF
es un operador lineal continuo entre dos EVTs de Hausdorff.
es un subespacio vectorial denso de
es un homomorfismo topológico, entonces la extensión lineal continua única de
, es un homomorfismo topológico (aunque es posible que
a no sea inyectivo).
El teorema de la aplicación abierta, también conocido como teorema de homomorfismo de Banach, proporciona una condición suficiente para que un operador lineal continuo entre EVTs metrizables completos sea un homomorfismo topológico.
un mapa lineal continuo entre dos EVTs metrizables completos.
es exiguo (es decir, de primera categoría) en
topologías de EVTs en un espacio vectorial
, de modo que cada topología convierta a
son dos subespacios vectoriales cerrados de
es la suma directa algebraica de
(es decir, la suma directa en la categoría de espacios vectoriales), entonces
en la categoría de espacios vectoriales topológicos.
Cada operador lineal continuo en un EVT es un homomorfismo topológico.
tiene su topología euclídea habitual y si