En matemáticas, un espacio LF, también escrito como (LF)-espacio, es un espacio vectorial topológico (EVT) X que es un límite directo localmente convexo de un sistema inductivo numerable
en la categoría de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada
[1][2] Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término "espacio LF" como "espacio LF estricto", por lo que al leer determinados textos matemáticos, se recomienda comprobar siempre cómo está definido el LF-espacio.
En todo momento se supone que: Si existe, entonces la topología final sobre X en
, y denotada por τf• o τf, es la topología más fina en X tal que En la categoría de espacios topológicos, la topología final siempre existe y, además, un subconjunto U ⊆ X está abierto (o cerrado) en (X, τf) si y solo si fi- 1 (U) está abierto (o cerrado) en (Xi, τXi) para cada índice i.
de modo que si i= j, entonces fij es la aplicación de identidad en Xi y si i ≤ j ≤ k entonces se cumple la siguiente condición de compatibilidad: donde esto significa que la composición Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces el triplete formado por las colecciones de estos objetos, los morfismos y el conjunto de indexación se conoce como sistema directo en la categoría
Dado que el conjunto de indexación I es un conjunto directo, se dice que el sistema directo está dirigido.
Lo mismo ocurre con los aplicaciones de vinculación si no se incluyen.
En consecuencia, a menudo se ve escrito "X• es un sistema directo", donde "X•" en realidad representa un triplete con las aplicaciones de enlace y el conjunto de indexación definidos en otra parte (por ejemplo, aplicaciones de enlace canónicas, como inclusiones naturales) o bien los aplicaciones de enlace simplemente se supone que existen pero no es necesario asignarles símbolos (por ejemplo, los aplicaciones de enlace no son necesarios para enunciar un teorema).
coarser) que la topología original (es decir, dada) en Xi.
En este caso, tómese también Las aplicaciones límite son entonces las inclusiones naturales Ini : Xi → X.
Si los Xi tienen una estructura algebraica, póngase por caso suma, por ejemplo, entonces para cualquier x, y ∈ X, se elige cualquier índice i tal que x, y ∈ Xi y luego se define su suma usando el operador de suma de Xi.
Esta suma es independiente del índice i que se elija.
[4] Límites directos en categorías de espacios topológicos Los límites directos de los sistemas directos dirigidos siempre existen en las categorías de conjuntos, espacios topológicos, grupos y EVTs localmente convexos.
En la categoría de espacios topológicos, si cada aplicación de enlace fij es inyectiva (respectivamente, sobreyectiva, biyectiva, homeomorfismo, embebido, o aplicación cociente), entonces también lo es cada fi : Xi → X.
[3] Los límites directos en las categorías de espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos (EVTs) y EVTs localmente convexos de Hausdorff se "comportan mal".
Por esta razón, en análisis funcional solo se estudian ciertos sistemas directos "de buen comportamiento".
Estos sistemas incluyen a los espacios LF.
es un embebido de un EVT en subespacios vectoriales adecuados y si el sistema está dirigido por
En tal situación, se puede suponer sin pérdida de generalidad que cada Xi es un subespacio vectorial de Xi+1 y que la topología del subespacio inducida en Xi por Xi+1 es idéntica a la topología original en Xi.
[5] Cada espacio LF es un subconjunto exiguo de sí mismo.
[8] Los espacios LF son distinguidos, y sus duales fuertes son bornológicos y barrilados (un resultado debido a Alexander Grothendieck).
[10] Cada operador lineal acotado desde un espacio LF a otro EVT es continuo.
[11] Si X es un espacio LF definido por una secuencia
, el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables en
La estructura del espacio LF se obtiene considerando una secuencia de conjuntos compactos
hereda su estructura de espacio LF como se describió anteriormente.
Dado que cualquier topología sobre un EVT X hace continuas las inclusiones de los Xm en X, este último espacio tiene el máximo entre todas las topologías del EVT en un espacio vectorial
Es una topología LC, asociada con la familia de todas las seminormas en X.
Además, la topología del límite inductivo del EVT X coincide con el límite inductivo topológico; es decir, el límite directo de los espacios de dimensión finita Xn en la categoría de espacios topológicos y en la categoría de EVTs coinciden.