En todo momento se asume lo siguiente: Los siguientes conjuntos constituirán los subconjuntos abiertos básicos de las topologías en espacios de aplicaciones lineales.
[2] Sin embargo, este nombre se cambia con frecuencia según los tipos de conjuntos que componen
(por ejemplo, la "topología de convergencia uniforme en conjuntos compactos" o la "topología de convergencia compacta"; consúltese la nota al pie para obtener más detalles[3]).
[6] Además,[4] y de manera similar[5] Para cualquier subconjunto
está dotado de su uniformidad canónica), sea Dado
es una familia de seminormas continuas que generan esta topología en
es inducida por la siguiente familia de seminormas: ya que
es un espacio topológico de Hausdorff completamente regular no trivial y
es el espacio de todas las funciones continuas con valores reales (o complejos) en
denotará el espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales continuas desde
lo cual asumiremos que es el caso durante el resto del artículo.
La siguiente suposición se hace muy comúnmente porque garantizará que cada conjunto
son localmente convexos, entonces se puede agregar a esta lista: Suposiciones comunes Algunos autores (por ejemplo, Narici) requieren que
esté dirigido bajo la inclusión de subconjuntos y que cumpla la siguiente condición: Si
como suele ser el caso, entonces se cumplen estos axiomas.
está dirigido por inclusión de subconjuntos y satisface la siguiente condición: si
son espacios de Hausdorff localmente convexos, entonces Al permitir que
tiene las siguientes propiedades: Subconjuntos equicontinuos Al permitir que
o la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados y
tiene las siguientes propiedades: En todo momento, se asume que
(como se define en este artículo), no es necesariamente una topología polar.
Aquí se enumeran algunas de las topologías polares más comunes.
denota el espacio de aplicaciones bilineales continuas por separado y
son espacios vectoriales topológicos sobre el mismo cuerpo (ya sean números reales o complejos).
De manera análoga a cómo se aplica una topología en
) que contienen al menos un conjunto no vacío.
o como topología de convergencia uniforme en los productos
Sin embargo, como antes, esta topología no es necesariamente compatible con la estructura del espacio vectorial de
sin el requisito adicional de que para todas las aplicaciones bilineales,
, pero puede que este no sea el caso si se intenta aplicar la topología