Como ahora sabemos, la ruta hacia su prueba, y otros avances, yace en la construcción de la cohomología étale.
Con la ventaja de lo retrospectivo, se puede decir que la geometría algebraica había estado luchando con dos problemas, durante mucho tiempo.
El primero tenía que ver con puntos: en los viejos días de la geometría proyectiva era claro que la ausencia de suficientes puntos en una variedad algebraica era una barrera para obtener una buena teoría geométrica (en la cual hubiera algo como una variedad compacta).
Estaba también la dificultad, que fue evidente tan pronto como la topología tomó forma en la primera mitad del siglo veinte, que la topología de las variedades algebraicas tenían demasiado pocos conjuntos abiertos.
Una categoría abeliana se debe ser cerrada bajo ciertas operaciones categórico-teoréticas - usando esta clase de definición se puede enfocar enteramente en la estructura, sin decir nada sobre la naturaleza de los objetos involucrados.
Es casi tautológico decir que los subconjuntos de un conjunto dado X son lo mismo que (tan bueno como) las funciones de X a cualquier conjunto de dos elementos dado: fije el primer elemento y haga que un subconjunto Y corresponda a la función que envía a Y a é y su complemento en X al otro elemento.
Lawvere entonces formuló axiomas para un topos que asumieran un clasificador de subobjetos, y algunas condiciones sobre límites (para hacer la categoría cartesiano-cerrada, por lo menos).
El trabajo último en cohomología étale ha tendido a sugerir que la teoría completa, general, de los topos no es requerida.
Por otra parte, se utilizan otros sitios, y los topos de Grothendieck han tomado su lugar dentro del álgebra homológica.
Que esto puede ser hecho limpiamente es demostrado por el tratamiento del libro por Lambek y Scott.
Lo que resulta es esencialmente una teoría intuicionista (es decir constructivista), y su contenido es aclarado por la existencia de topos libres.
También volvió más accesible la topología sin puntos, donde el concepto de local aísla algunas intuiciones más accesibles encontradas tratando los topos como una generalización significativa de espacio topológico.
Los progresos subsecuentes se asociaron a la lógica y son más interdisciplinarios.