Son formas propias del operador hiperbólico de Laplace
El primero en estudiarlas (a partir de 1949) fue el matemático alemán Hans Maass.
en el lado derecho de la ecuación es la medida inducida en el cociente
se define como La integral converge localmente uniformemente absolutamente para
Considerando ambas ecuaciones, se deduce que para
En el segundo término se cambió el orden de integración y diferenciación, lo que está permitido ya que f es suave en y.
Se obtiene una ecuación diferencial lineal de segundo grado: por
satisface la ecuación funcional La serie de Eisenstein no holomórfica se define para
Una prueba de la suavidad se puede encontrar en Deitmar o Bump.
Dado que se obtiene Eso prueba la convergencia absoluta en
La serie de Eisenstein satisface la ecuación funcional para todos los
Se puede demostrar que existe una continuación única autoadjunta en
El espectro perteneciente al complemento ortogonal tiene una parte continua y se puede describir con la ayuda de la serie de Eisenstein no holomórfica (modificada), sus continuaciones meromórficas y sus residuos.
Esto se debe a que un subgrupo discreto cocompacto no tiene cúspides.
, la llamada representación regular recta: Se puede demostrar fácilmente que
Si no, también hay una parte continua integral de Hilbert.
Su coeficiente de Fourier normalizado en un primer p está limitado por p7/64 + p-7/64.
Este teorema se debe a Henry Kim y Peter Sarnak.
el anillo de los adeles finitos (racionales); y para un número primo
Entonces: El lado derecho es el producto restringido, relativo a los subgrupos compactos y abiertos
es isomorfo a y es un grupo localmente compacto con la topología del producto, ya que
(véase anillo adele para una definición del valor absoluto de un idele).
similar al caso clásico del grupo modular y
Del mismo modo, se pueden incorporar las formas de cúspide holomorfas clásicas.
forma cúspide, si se cumple para casi todos los
se llama cuspidal, si es isomórfica a una subrepresentación de
se llama admisible si existe un subgrupo compacto
La admisibilidad es necesaria para probar el llamado Teorema de aplicación del producto tensorial (Tensorprodukt-Theorem anzuwenden), que dice que toda representación irreducible, unitaria y admisible del grupo
se llama no ramificada, si el espacio vectorial no es el espacio cero) La construcción de un producto tensorial infinito se puede encontrar en Deitmar, C.7.
Se puede encontrar una construcción de funciones L locales en Deitmar C. 8.2.