El formalismo tetrádico es una aproximación a la relatividad general que generaliza la elección de bases para un fibrado tangente desde una base holonómica a la elección menos restrictiva de una base local, es decir, un conjunto definido localmente de cuatro [1] campos vectoriales linealmente independientes llamados tétradas o vierbein.
El presente artículo hace mención frecuente a la relatividad general, aunque casi todo su contenido es igualmente aplicable a (seudo-)variedades de Riemann en general, e incluso a variedades espinoriales.
La mayoría de las afirmaciones se mantienen simplemente sustituyendo el valor
En alemán, "vier" se traduce como "cuatro" y "viel" como "muchos".
El efecto de los vielbeins es cambiar el sistema de coordenadas utilizado en el fibrado tangente a uno que sea más simple o más adecuado para los cálculos.
Es decir, como formalismo, no altera los resultados y es más bien una técnica de cálculo.
La notación de índices abstracta denota los tensores como si estuvieran representados por sus coeficientes con respecto a una tétrada local fija.
En comparación con coordinar completamente la notación libre, que suele ser conceptualmente más claro, permite una manera fácil y computacionalmente explícita de denotar contracciones.
El formalismo tetrádico de la teoría es más fundamental que su formulación métrica, ya que no se puede convertir entre las formulaciones tetrádica y métrica de las acciones fermiónicas, a pesar de que esto sea posible para las acciones bosónicas.
Esos espinores toman forma en el sistema de coordenadas vielbein, y no en el sistema de coordenadas múltiple.
Debe tenerse en cuenta la forma de escribirse: en alemán, "viel" significa "muchos", y no debe confundirse con "vier", que significa "cuatro".
En el formalismo vielbein, se elige[6] un recubrimiento de la variedad espacio-tiempo
Dado que no todas las variedades son paralelizables, un vielbein generalmente solo se puede elegir localmente ("es decir", solo en una variedad topológica
Todos los tensores de la teoría se pueden expresar en una base vectorial y covectorial, expresándolos como combinaciones lineales de miembros del (co)vielbein.
Las tétradas nulas se componen de cuatro vectores isótropos, por lo que se utilizan con frecuencia en problemas relacionados con la radiación y son la base del formalismo de Newman-Penrose y del formalismo GHP.
La tétrada de coordenadas se denomina comúnmente
Estos vectores tangentes generalmente se definen como operadores derivada direccional: dado un grafo
El cambio entre múltiples grafos de coordenadas es necesario porque, excepto en casos triviales, no es posible que un solo grafo de coordenadas cubra toda la variedad.
Cambiar hacia y entre tétradas generales es muy similar e igualmente necesario (excepto para variedades paralelizables).
Cualquier tensor se puede escribir localmente en términos de esta tétrada de coordenadas o una (co)tétrada general.
Asimismo, la métrica se puede expresar con respecto a una (co)tétrada arbitraria como Aquí se utiliza la elección del alfabeto (latino y del griego) para las variables del índice para distinguir la base aplicable.
), las sustituciones poco rigurosas de fórmulas que calculan correctamente los coeficientes tensoriales con respecto a una tétrada de coordenadas pueden no definir correctamente un tensor con respecto a una tétrada general porque el corchete de Lie no desaparece:
Por tanto, a veces se dice que las coordenadas de tétrada proporcionan una base no holonómica.
Por ejemplo, el tensor de curvatura se define para campos vectoriales generales
por En una tétrada de coordenadas, esto da los coeficientes tensoriales La sustitución poco rigurosa "del griego al latín" de esta última expresión es incorrecta, porque para c y d fijos,
Dado un vector (o covector) en la variedad tangente (o cotangente), una aplicación exponencial describe la línea geodésica correspondiente de ese vector tangente.
, el transporte paralelo de un diferencial corresponde a Lo anterior se puede verificar fácilmente simplemente tomando
Téngase en cuenta que, como matriz, la segunda W es la transpuesta.
Lo anterior se generaliza al caso de un espacio simétrico.
[7] Estos vielbeins se utilizan para realizar cálculos en modelos sigma, de los que las teorías de supergravedad son un caso especial.