Es decir, dado cualquier punto x en la variedad base M, existe una vecindad abierta U ⊂ M de x para la cual el haz de vectores sobre U es isomorfo al espacio U × Rk: esta es la trivialización local.
De este modo, la estructura del espacio vectorial en Rk se puede extender a toda la trivialización local, y también se puede extender una base en Rk; lo que permite definir el sistema de referencia local (aquí, R hace referencia a los números reales
, aunque gran parte del presente desarrollo se puede extender a módulos sobre anillos en general, y a espacios vectoriales sobre los números complejos
Por ejemplo, supóngase que ξ es una sección local, definida sobre el mismo conjunto abierto que el sistema de referencia e.
Como ecuación matricial, esto se lee En la relatividad general, dichos campos de sistemas de referencia se denominan tétradas.
La tétrada relaciona específicamente el sistema de referencia local con un sistema de coordenadas explícito en la variedad base M (el sistema de coordenadas en M está establecido por el atlas).
Específicamente, si v es una sección local de E y f es una función suave, entonces donde df es la derivada exterior de f. A veces es conveniente extender la definición de D a formas con valores en E arbitrarios, considerándolo así como un operador diferencial en el producto tensorial de E con el producto exterior completo de formas diferenciales.
En otras palabras, D es una derivación en el haz de módulos graduados Γ(E ⊗ Ω*M).
Entonces Tomando componentes en ambos lados, donde se entiende que d y ω se refieren a la derivada componente con respecto al sistema de referencia e, y una matriz de 1-formas, respectivamente, que actúa sobre los componentes de ξ.
Para extender ω a un objeto global adecuado, es necesario examinar cómo se comporta cuando se realiza una elección diferente de secciones básicas de E.
Si se tiene un fibrado vectorial E sobre M, entonces la métrica se puede extender a todo el haz de vectores, como una métrica de haz.
Para el caso especial de que E sea un fibrado tangente TM, la conexión métrica se denomina conexión riemanniana.
En términos formales, E es un fibrado con grupo estructural G cuya fibra típica es Rk con la acción natural de G como subgrupo de GL(k).
Formalmente, en una curva γ, debe cumplirse localmente la condición siguiente (es decir, para valores suficientemente pequeños de t): para alguna matriz gαβ (que también puede depender de t).
Teniendo esto en cuenta, donde ωg es la forma de Maurer-Cartan para el grupo G, aquí regresado a M en la función g, y Ad es la representación adjunta de G en su álgebra de Lie.
La desventaja de este enfoque es que las formas ya no se definen en la variedad misma, sino en un haz principal más grande.
Estos sistemas están relacionados en las intersecciones de conjuntos abiertos superpuestos por para alguna función hUV con valor G definida en U ∩ V.
Ahora, para un punto (x,g) ∈ U × G, se establece La 1-forma ω construida de esta manera respeta las transiciones entre conjuntos superpuestos y, por lo tanto, desciende para dar una 1-forma globalmente definida en el haz principal FGE.