que no estaban en el universo antiguo y, por lo tanto, violar la hipótesis del continuo.
El forzado es una versión más elaborada de esta idea, que reduce la expansión a la existencia de un nuevo conjunto y permite un control preciso sobre las propiedades del universo expandido.
El forzado también es equivalente al método de modelo booleano-evaluado, que en algunos casos se considera más natural e intuitivo conceptualmente, pero por lo general mucho más difícil de aplicar.
Ocasionalmente se usa el término conjunto parcialmente ordenado de todos modos, en conflicto con la terminología estándar, mientras que también se usa el término conjunto preordenado.
También se utiliza el orden inverso, sobre todo por Saharon Shelah y sus coautores.
Más precisamente, se usa en primer lugar la inducción transfinita para definir la siguiente jerarquía: Entonces la clase de nombres
En este caso, se puede hablar de las condiciones como probabilidades, y un nombre
El efecto de la transitividad es que la membresía y otras nociones elementales pueden manejarse intuitivamente.
, se trabaja con el "lenguaje forzado", que se construye como una lógica de primer orden ordinaria, con la pertenencia como relación binaria y todos los nombres
y luego se implementa para fórmulas arbitrarias por inducción sobre su complejidad.
se cumple si hay al menos una secuencia finita
tal que R1, R2 y R3 son teoremas porque su valor de verdad en algún punto está definido por sus valores de verdad en puntos "más pequeños" en relación con alguna relación bien fundada utilizada como "ordenar".
En el conjunto parcialmente ordenado forzado no trivial más simple es
, que deben considerarse como las partes "sí" y "no" de
, es decir, considerando en su lugar funciones parciales finitas cuyas entradas son de la forma
Para ello, una propiedad combinatoria suficiente es que todos las anticadenas del conjunto parcialmente ordenado forzado son contables.
En el ejemplo de funciones parciales finitas, la incompatibilidad significa que
es contable (el nombre, que obviamente es inapropiado, es un vestigio de terminología más antigua.
es aquella que no se puede extender a una anticadena más grande.
, el Lema de Zorn demuestra que existe una anticadena máxima
(la hipótesis del continuo generalizado), solo para un cardinal regular, y un número finito de veces.
para los cardinales regulares, básicamente mostrando que las restricciones conocidas, (monotonicidad, teorema de Cantor y teorema de König), eran las únicas restricciones demostrables por
En un momento, se pensó que un forzado más sofisticado también permitiría una variación arbitraria en las potencias de los cardinales singulares.
Sin embargo, esto ha resultado ser un problema difícil, sutil e incluso sorprendente, con varios restricciones probables más en
puede no ser compacto y la intersección de todas las condiciones del filtro genérico
Finalmente, hay exactamente un real que pertenece a todos los miembros del conjunto
, un real aleatorio, se puede demostrar que Debido a la interdefinibilidad mutua entre
Quizás más claramente, el método se puede explicar en términos de modelos con valores booleanos.
Cada "condición" es una pieza finita de información; la idea es que solo las piezas finitas son relevantes para la consistencia, ya que, según el teorema de compacidad, una teoría es satisfactoria si y solo si cada subconjunto finito de sus axiomas es satisfactorio.
Entonces se puede elegir un conjunto infinito de condiciones consistentes para extender el modelo estudiado.