Lema de Zorn
definida entre elementos del conjunto con las tres propiedades siguientes: En este caso, diremos que
Si además se tiene la siguiente propiedad: diremos que
Nótese que el orden más habitual (en los números enteros, reales, etc.) es total, pero hay otros órdenes que no tienen por qué serlo.
, se puede comprobar que la relación de divisibilidad es un orden:
Sin embargo, no es un orden total, pues hay elementos que no son comparables.
Por ejemplo, el 3 y el 5 no son comparables por ese orden, pues ni uno divide al otro, ni el otro al uno.
, sin embargo no lo es con el orden de divisibilidad, pues
En este caso, una cota podría ser, por ejemplo,
Nótese la diferencia entre maximal y máximo: un elemento es maximal de un conjunto si no existe ningún elemento más grande en el conjunto, y es máximo si es más grande que todos los elementos del conjunto.
Sin embargo, ninguno de ellos es un máximo, pues ninguno es más grande (es múltiplo) que todos los demás.
Con esto ya estamos en condiciones de entender el enunciado: El axioma de elección dice que dada una familia (posiblemente infinita) de conjuntos no vacíos podemos definir una aplicación que tome un elemento de cada conjunto:
Con este axioma podemos demostrar el lema de Zorn: Sea que
el conjunto parcialmente ordenado del enunciado.
no tiene ningún elemento maximal y llegaremos a contradicción.
Por el axioma de elección podemos definir una función
que dado cada uno de estos subconjuntos devuelva su cota superior.
no tiene ningún elemento maximal, se puede pedir que la cota de cada uno de estos subconjuntos no esté dentro del subconjunto.
(ii) Las longitudes de las secuencias descendientes ha aumentado en uno al añadir
tiene una secuencia descendiente infinita, lo cual es contradictorio con que
La contradcción proviene de haber supuesto que
Aparece en las demostraciones de varios teoremas importantes, tales como el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que todo espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología, y los teoremas en álgebra abstracta que afirman que todo anillo con elemento unitario tiene un ideal maximal y que todo cuerpo tiene clausura algebraica.
Se considerará una aplicación usual del lema de Zorn: la prueba de que todo anillo R con unidad contiene un ideal maximal.
Sea P el conjunto de todos los ideales bilaterales de R excepto R mismo, que no es vacío pues incluye al menos al ideal trivial {0} de R. Este conjunto está parcialmente ordenado por inclusión.
Sea entonces T un subconjunto totalmente ordenado de P; se demostrará que T tiene cota superior, es decir, hay un ideal I ⊆ R que contiene a todos los miembros de T, pero que no es igual a R (de lo contrario no estaría en P).
Sea I la unión de todos los ideales en T. Esta es también un ideal: para cualquier a, b ∈ I, existen J, K ∈ T tales que a ∈ J y b ∈ K. Como T está totalmente ordenado, K ⊆ J o J ⊆ K. En el primer caso, b ∈ J y por lo tanto, como J es un ideal, a + b, ar, ra ∈ J ⊆ I para cualquier r ∈ R. En el segundo caso se razona de manera similar.
Para demostrar que I es distinto de R, basta con observar que un ideal es igual a R si y solo si incluye a 1.
Es evidente que si es igual a R debe incluir a 1; recíprocamente, si incluye a 1 debe incluir a 1r = r para cualquier r ∈ R, y por lo tanto debe contener a R. Ahora bien, si I = R debería incluir a 1, con lo que habría un J ∈ T tal que 1 ∈ J, y por lo tanto J = R, contradiciendo la definición de P, que no lo incluía.
Se demostró que T tiene una cota superior en P. Aplicando el lema de Zorn, se tiene que P debe tener un elemento maximal, y por lo tanto, R tiene un ideal maximal.
Es de notar que la demostración depende del hecho de que R tenga un elemento unitario 1.
De lo contrario, no solo la prueba fallaría, el mismo enunciado del teorema sería falso.
