[1] Una fracción continua generalizada es una expresión de la forma: donde los an (n > 0) son los numeradores parciales, los bn son los denominadores parciales y el término principal b0 es el llamado parte entera de la fracción continua.
Justo 24 años después Pietro Cataldi presentó la primera notación formal[6] para la fracción continua generalizada.
Más tarde, en el siglo XVII John Wallis[7] introdujo el término "fracción continua" en la literatura matemática.
En 1748 Euler publicó un teorema muy importante mostrando que un tipo particular de fracción continua es equivalente a cierta serie infinita muy general.
En 1813 Gauss usó un ingenioso truco con la función hipergeométrica compleja para derivar una expresión en forma de fracción continua que ha sido denominada en su honor.
Desafortunadamente, ocupa un montón de espacio en un libro (y tampoco es fácil su escritura).
Esta es probablemente la forma más compacta y conveniente para expresar fracciones continuas.
No hay necesidad de aplicar esta restricción a los denominadores parciales bi.
Cuando el n-ésimo convergente de una fracción continua se expresa como una fracción simple xn = An/Bn podemos usar la fórmula determinante para relacionar los numeradores y denominadores de los convergentes sucesivos xn and xn-1 entre sí.
La transformación de equivalencia es perfectamente general, pero dos casos particulares merecen una mención especial.
En primer lugar, si uno de los ai es cero, se puede elegir una sucesión {ci} para hacer 1 cada numerador parcial:
En segundo lugar, si uno de los denominadores parciales bi es cero, podemos usar un procedimiento similar para elegir otra sucesión {di} que haga 1 cada denominador parcial: donde d1 = 1/b1 y por otra parte dn+1 = 1/(bnbn+1).
Como ya se ha dicho, la fracción continua converge si la sucesión de convergencia {xn} tiende a un límite finito.
Por ejemplo, una fracción continua en concreto diverge por oscilación si la serie b1 + b2 + b3 + ... es absolutamente convergente.
O, dicho de otro modo, si para cada ε > 0 puede encontrarse un entero M tal que el valor absoluto de la diferencia es menor que ε para cada punto z en un entorno abierto Ω cuando n > M, la fracción continua definida por f(z) es uniformemente convergente en Ω.
Suele imponerse una restricción adicional – que ad ≠ bc –, para dejar fuera los casos en los cuales w = f(z) es una constante.
Considérese una sucesión de transformaciones fraccionarias lineales simples Aquí se usa la letra griega τ (tau) para representar cada TFL simple y se adopta la notación habitual para la composicción de funciones.
También se introduce un nuevo símbolo Τn para representar la composición de n+1 - τ, es decir, y así, sucesivamente.
Si la fracción continua converge, los convergentes sucesivos An/Bn están eventualmente tan juntos como se desee.
Intuitivamente es casi como si el convergente de la fracción continua transformara por completo el plano complejo extendido en un simple punto.
[15] Nótese que la sucesión {Τn} cae dentro del grupo de automorfismo del plano complejo extendido, en el momento en que cada Τn es una transformación lineal fraccionaria para la cual ab ≠ cd.
Todavía en el límite de la sucesión {Τn} define una fracción continua infinita la cual (si converge) representa un solo punto en el plano complejo.
Se distinguen tres casos: Se pueden construir interesantes ejemplos de los casos 1 y 3 mediante el estudio de la fracción simple continua donde z es cualquier número real tal que z < −¼.