En matemáticas y física teórica, un grupo cuántico localmente compacto[1] es un enfoque C*-algebraico relativamente nuevo hacia el grupo cuántico, que generaliza los enfoques del álgebra de Kac, del grupo cuántico compacto y del álgebra de Hopf.
Los intentos anteriores de lograr una definición unificadora de grupos cuánticos utilizando, por ejemplo, unitarios multiplicativos, han tenido cierto éxito, pero también han encontrado varios problemas técnicos.
Una de las principales características que distingue a este nuevo enfoque de sus predecesores es la existencia axiomática de pesos invariantes a izquierda y derecha.
Esto proporciona un análogo no conmutativo de la medida de Haar a izquierda y derecha en un grupo de Hausdorff localmente compacto.
Antes de que siquiera se pueda comenzar a definir adecuadamente un grupo cuántico localmente compacto, primero se debe definir una serie de conceptos preliminares y también enunciar algunos teoremas.
tal que Algunas notaciones para pesos.
Se usa la siguiente notación: Tipos de pesos.
Definición (grupo de un parámetro).
, se define una Extensión analítica de
, sea que es una franja horizontal en el plano complejo.
Se denomina a una función
{\displaystyle f:I(z)\to A}
norma-regular si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: Supóngase ahora que
, y considérese que Entonces, se define
está determinada de forma única (por la teoría de funciones analíticas complejas), por lo que
se denomina entonces extensión analítica de
, es un subconjunto denso de
y existe un grupo normado continuo de un parámetro
son C* álgebras y
es un homomorfismo* no degenerado (es decir,
de forma única a un *homomorfismo
es un estado (es decir, un funcional lineal positivo de norma
de forma única a un estado
Definición (grupo cuántico localmente compacto).
Un (C*-algebraico) grupo cuántico localmente compacto es un par ordenado
es un *homomorfismo no degenerado, llamado co-multiplicación, que satisface las siguientes cuatro condiciones: A partir de la definición de un grupo cuántico localmente compacto, se puede demostrar que el peso K.M.S.
es una condición redundante y no necesita ser postulada.
La categoría de grupos cuánticos localmente compactos permite una construcción dual con la que se puede demostrar que el bi-dual de un grupo cuántico localmente compacto es isomorfo al original.
Este resultado proporciona una generalización de gran alcance de la dualidad de Pontriaguin para grupos abelianos de Hausdorff localmente compactos.
La teoría tiene una formulación equivalente en términos del álgebra de von Neumann.