En álgebra, un cuerpo localmente compacto es aquel cuya topología forma un espacio de Hausdorff localmente compacto.
[1] Este tipo de cuerpos se introdujeron originalmente en análisis p-ádico, ya que los cuerpos
son espacios topológicos localmente compactos construidos a partir de la norma
La topología (y la estructura del espacio métrico) es esencial, porque permite construir análogos de los cuerpos de números algebraicos en el contexto p-ádico.
Uno de los teoremas de estructura útiles para espacios vectoriales sobre cuerpos localmente compactos es que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen solo una clase de norma de equivalencia: la norma del supremo.
Dada una extensión de un cuerpo finito
sobre un cuerpo localmente compacto
, hay como máximo una norma de cuerpo única
que extiende la norma del cuerpo
que esté en la imagen de
Téngase en cuenta que esto se desprende del teorema anterior y del siguiente recurso: si
son dos normas equivalentes, y
, ya que la sucesión generada a partir de las potencias de
es una extensión de Galois (por lo que todas las soluciones al polinomio mínimo de cualquier
), entonces la norma de cuerpo única
se puede construir usando la norma de un cuerpo[2] pg.
Esto se define como
Téngase en cuenta que la raíz enésima es necesaria para tener una norma de cuerpo bien definida que se extienda sobre
, ya que dado cualquier
, ya que actúa como multiplicación escalar en el espacio vectorial
Todos los cuerpos finitos son localmente compactos, ya que pueden equiparse con una topología discreta.
En particular, cualquier cuerpo con topología discreta es localmente compacto, ya que cada punto es un entorno de sí mismo, y también el cierre del entorno, y por lo tanto es compacto.
Los principales ejemplos de cuerpos localmente compactos son los racionales p-ádicos
Cada uno de estos casos son ejemplos de cuerpos locales.
Téngase en cuenta que la clausura algebraica
no son cuerpos localmente compactos[2] pg.
Las extensiones de cuerpo
se pueden determinar usando el lema de Hensel.
solo es igual a cero mod
es una extensión de cuerpo cuadrática.