En matemáticas, un cuerpo completo se define como un cuerpo equipado con una métrica y completo con respecto a esa métrica.
Los ejemplos básicos incluyen los números reales, los números complejos y las valoraciones (como los números p-ádicos).
Los números reales son el cuerpo con la métrica euclidiana estándar
Dado que se construye a partir de la completación de
con respecto a esta métrica, es un cuerpo completo.
Extendiendo los reales a su clausura, se obtiene el cuerpo
(ya que su grupo absoluto de Galois es
En este caso,
también es un cuerpo completo, pero en muchos otros casos no es así.
Los números p-ádicos se construyen a partir de
usando el valor absoluto p-ádico
no divide a
su valoración es el número entero
es el cuerpo completo
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
llamado números p-ádicos.
Este es un caso en el que el cuerpo[1] no está algebraicamente cerrado.
Normalmente, el proceso consiste en tomar el cierre separable y luego completarlo nuevamente.
Este cuerpo generalmente se denomina
{\displaystyle \mathbb {C} _{p}.}
Para el cuerpo funcional
corresponde a un valor absoluto, o posición,
Dado un elemento
mide el orden de desvanecimiento de
menos el orden de desvanecimiento de
da un nuevo cuerpo.
es el origen en el gráfico afín
es isomorfa al anillo de series de potencias