En álgebra, la identidad de Parseval, también conocida como la igualdad de Parseval, es una generalización del teorema de Pitágoras aplicado a los espacios de Hilbert separables.
Si B es una base ortonormal en un espacio vectorial producto interno de dimensión finita
, entonces El nombre procede de la relación de Parseval para las series de Fourier, que es un caso especial.
La identidad de Parseval se puede demostrar mediante el teorema de Riesz-Fischer.
una base ortogonal de un espacio producto interno
de cuerpo
{\displaystyle {\bigl (}\mathbb {K} =\mathbb {R} }
{\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} {\bigr )}}
Se demuestra que
son las coordenadas en base
del vector
, entonces resulta: Para este caso, puede calcularse: Por dos de los axiomas del producto interno,
( x , z y ) =
( x , y )
{\displaystyle (x,zy)={\bar {z}}(x,y)}
( x , y ) =
( y , x )
x , z y ) =
{\displaystyle (z'x,zy)={\overline {z'{\bar {z}}(y,x)}}=z{\bar {z'}}{\overline {(y,x)}}}
, y la base
Además, usando la propiedad de los número complejos,
entonces: quedando entonces la expresión Informalmente podemos expresar la identidad de Parseval aplicada a las series de Fourier, tanto en forma compleja como real.
Forma compleja (o exponencial): Forma real (o trigonométrica): Siendo
el periodo y
los coeficientes de Fourier complejos y reales respectivamente.
(Aquí se utiliza la convención de que
f ( x )
{\textstyle a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\mathrm {d} x}
, en otro caso el coeficiente de
será diferente).