Intersección (geometría)
El caso más simple en geometría euclidiana es la intersección de dos rectas distintas, que o bien es un punto o no existe si las líneas son paralelas.
Pero en general, la determinación de una intersección conduce a sistemas no lineales, que pueden ser solucionados por análisis numérico, por ejemplo, utilizando el método de Newton.
Los problemas de intersección entre una línea y una sección cónica (círculo, elipse, parábola, etc.) o una cuádrica (esfera, cilindro, hiperboloide, etc.) conducen a ecuaciones de segundo grado que se pueden resolver fácilmente.
Las intersecciones entre cuádricas (superficies de cuarto grado) llevan a ecuaciones cuárticas, que se pueden resolver algebraicamente.
las líneas son paralelas y estas fórmulas no se pueden usar porque implican dividir por 0).
de las rectas correspondientes puede no estar contenido en ambos segmentos.
Para verificar la situación, se usa la representación paramétrica de las rectas: Los segmentos de línea se intersecan solo en un punto común
son la solución del sistema lineal Se puede resolver para s y t usando la regla de Cramer (véase más arriba).
en la representación paramétrica correspondiente y se obtiene el punto de intersección
Esto significa que las líneas se cruzan en el punto
Si esta condición se cumple, hay dos puntos de intersección; en este caso, la línea se llama recta secante del círculo, y el segmento de línea que conecta los puntos de intersección se denomina cuerda de la circunferencia.
se mantiene, solo existe un punto de intersección y la línea es tangente al círculo.
Si el punto medio de la circunferencia no es el origen, se puede hacer un desplazamiento del punto central al origen de coordenadas mediante un cambio de variable, cambio que se deshace una vez hallada la solución.
Al restar las dos ecuaciones dadas, se obtiene la ecuación lineal: La intersección del área de dos círculos define una figura denominada forma lenticular.
Se pueden usar propiedades especiales de las secciones cónicas para obtener una solución.
(el espacio bidimensional), que son continuamente diferenciables (es decir, no presentan puntos de curvatura angulosos), tienen un punto de intersección, si poseen un punto del plano en común y tienen en este punto Si ambas curvas tienen un punto en común S y la tangente común en ese punto, pero no se cruzan entre sí, simplemente se están tocando en el punto S. Debido a que las intersecciones tangentes aparecen con poca frecuencia y son difíciles de tratar, las siguientes consideraciones omiten este caso.
Una curva dada paramétrica o explícitamente puede visualizarse fácilmente, porque para cualquier parámetro t o x respectivamente es fácil calcular el punto correspondiente.
Para curvas dadas implícitamente esta tarea no es tan fácil.
Para polígonos con muchos segmentos, este método requiere bastante tiempo.
En este caso, se dividen los polígonos en pequeños subpolígonos y se determina la ventana más pequeña (rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas) para cualquier subpolígono.
En las siguientes secciones se considera la intersección transversal solamente.
En tres dimensiones, la intersección de una recta y un plano en posición general es un punto.
Comúnmente, una línea en el espacio se representa paramétricamente
Si la ecuación lineal no tiene solución, la línea yace en el plano o es paralela a ella.
Si una recta está definida por dos planos de intersección
tienen el punto de intersección Para la prueba se debe establecer
Análogamente al caso plano, los casos siguientes conducen a sistemas no lineales, que se pueden resolver utilizando una iteración de Newton de 1 o 3 dimensiones.
[4] Ejemplo: Una intersección de recta y esfera es un caso especial simple.
Como en el caso de una recta y un plano, la intersección de una curva y una superficie en posición general consiste en puntos discretos, pero una curva puede estar parcial o totalmente contenida en una superficie.
Dos superficies intersecantes transversalmente dan una intersección curva.
