Ley de los grandes números

Estos teoremas prescriben condiciones suficientes para garantizar que dicho promedio converja (en los sentidos explicados abajo) al promedio de las esperanzas de las variables aleatorias involucradas.

Por ejemplo, la probabilidad de que un individuo gane la lotería es bastante baja; sin embargo, la probabilidad de que alguien gane la lotería es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasen boletos de lotería.

El matemático italiano Gerolamo Cardano (1501–1576) afirmó sin pruebas que la precisión de las estadísticas empíricas tienden a mejorar con el número de intentos.

[1]​ Después esto fue formalizado como una ley de los grandes números.

Una forma especial de la ley (para una variable aleatoria binaria) fue demostrada por primera vez por Jacob Bernoulli.

[2]​ Le llevó más de 20 años desarrollar una prueba matemática suficientemente rigurosa que fue publicada en su Ars Conjectandi [El arte de la conjetura] en 1713.

Este no debe confundirse con el principio físico de igual nombre, el nombre del sobrino de Jacob, Daniel Bernoulli.

Poisson describió con más detalle bajo el nombre de «la loi des grands nombres» (la ley de los grandes números).

Después de que Bernoulli y Poisson publicasen sus esfuerzos, otros matemáticos también contribuyeron al refinamiento de la ley, como Chebyshev,[5]​ Markov, Borel, Cantelli y Kolmogorov y Khinchin, que finalmente proporcionó una prueba completa de la ley de los grandes números para variables arbitrarias.

[6]​ Estos nuevos estudios han dado lugar a dos formas prominentes de la ley de los grandes números: una se llama la ley "débil" y la otra la ley "fuerte", en referencia a dos modos diferentes de convergencia de la muestra acumulada significa el valor esperado; en particular, como se explica a continuación, la forma fuerte implica la débil.

[6]​ La ley débil de los grandes números establece que si

es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes que tienen el mismo valor esperado

se tiene La ley fuerte de los grandes números establece que si

es una sucesión infinita de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que cumplen

entonces es decir, el promedio de las variables aleatorias converge a

Esta ley justifica la interpretación intuitiva del valor esperado de una variable aleatoria como el "promedio a largo plazo al hacer un muestreo repetitivo".

Para demostrar el teorema haremos uso del siguiente lema: Desigualdad Maximal.

Una nueva aplicación de esta misma desigualdad nos permite acotar los

: Es decir, hemos logrado acotar cada sumando de la (1) por una constante por los términos de una sumatoria que sabemos convergente, demostrando la convergencia de dicha sumatoria y concluyendo vía Borel-Cantelli la convergencia fuerte del teorema.

Por lo tanto, en un conjunto de probabilidad 1 se cumple: (3)

Por tanto, el valor esperado del promedio de las tiradas es:

Cuando se lanza una moneda justa una vez, la probabilidad teórica de que el resultado sea cara es igual a 1⁄2.

En particular, la proporción de caras después de n lanzamientos casi seguramente convergerá a 1⁄2 cuando n se acerque al infinito.

Aunque la proporción de caras (y cruces) se acerca a la mitad, es casi seguro que la diferencia absoluta en el número de caras y cruces aumentará a medida que aumente el número de lanzamientos.

Es decir, la probabilidad de que la diferencia absoluta sea un número pequeño se acerca a cero a medida que el número de lanzamientos aumenta.

Además, es casi seguro que la relación entre la diferencia absoluta y el número de lanzamientos se aproximará a cero.

Intuitivamente, la diferencia esperada crece, pero a un ritmo más lento que el número de lanzamientos.

Estos métodos son una clase amplia de algoritmos computacionales que se basan en muestreos aleatorios repetidos para obtener resultados numéricos.

Cuanto mayor sea el número de repeticiones, mejor tiende a ser la aproximación.

La razón por la que este método es importante es principalmente que, a veces, es difícil o imposible utilizar otros enfoques.