Ley del logaritmo iterado

En teoría de la probabilidad, la ley del logaritmo iterado describe la magnitud de las fluctuaciones de un paseo aleatorio.

El enunciado original de esta ley se debe a A.

N. Kolmogórov dio otra versión en 1929.

variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con media cero y varianza uno.

La ley del logaritmo iterado opera "entre" la ley de los grandes números y el teorema central del límite.

Hay dos versiones de la ley de los grandes números (la débil y la fuerte), y afirman que las sumas

, convergen a cero (en probabilidad y casi seguramente, respectivamente): Por otra parte, el teorema central del límite afirma que las sumas

, convergen en distribución a una distribución normal estándar.

Por la ley cero-uno de Kolmogórov, para cada

fijo, la probabilidad del evento

Pero luego Un argumento análogo prueba que Por tanto, estas cantidades no pueden converger casi seguramente.

De hecho, tampoco pueden converger en probabilidad, debido a la igualdad y al hecho de que las variables aleatorias son independientes y convergen en distribución a

La ley del logaritmo iterado proporciona el factor de escala en el que los dos límites se vuelven diferentes: Así, aunque para cualquier

será menor que

con probabilidad tendiendo a 1, esta cantidad será sin embargo mayor que

arbitrariamente grandes, casi seguramente; de hecho, esta cantidad visitará los entornos de cualquier punto del intervalo

arbitrariamente grandes, casi seguramente.