Ley esférica de los cosenos
En trigonometría esférica, la ley de los cosenos (también llamada regla del coseno para los lados[1]) es un teorema que relaciona los lados y los ángulos de un triángulo esférico, análogo al teorema del coseno ordinario del plano en trigonometría.
Para una esfera no unitaria, las longitudes son los ángulos subtendidos multiplicados por el radio, y la fórmula sigue siendo válida si a, b y c se reinterpretan como ángulos subtendidos.
En este caso, es preferible la expresión alternativa de la fórmula del semiverseno.
Se puede obtener considerando un triángulo esférico dual con el dado.
Se denominan u, v y w a los vectores unitarios que van del centro de la esfera a los vértices del triángulo.
, donde θ es la colatitud, es decir, el ángulo medido desde el polo norte, no desde el plano ecuatorial.
Los ángulos y las distancias no cambian si se gira el sistema de coordenadas, por lo que, por sencillez, lo giramos de modo que
esté en polo norte, esto es, que tenga coordenadas
esté en algún lugar del meridiano cero, esto es, que tenga coordenadas
Sean u, v y w los vectores unitarios desde el centro de la esfera hasta las esquinas del triángulo.
Los vectores u × v y u × w tienen longitudes sen a y sen b respectivamente y el ángulo entre ellos es C, entonces utilizando productos vectoriales, productos escalaress y la identidad de Binet-Cauchy (p × q) · (r × s) = (p · r)(q · s) − (p · s)(q · r).
La primera y segunda leyes esféricas de los cosenos se pueden reorganizar para colocar los lados (a, b, c) y los ángulos (A, B, C) en lados opuestos de las ecuaciones: Para triángulos esféricos pequeños, es decir, para a, b y c pequeños, la ley esférica de los cosenos es aproximadamente la misma que la ley ordinaria de los cosenos en el plano, Para probar esto, se usa la aproximación para ángulos pequeños obtenida de la serie de Taylor para las funciones coseno y seno: Sustituyendo estas expresiones en la ley esférica de los cosenos se obtiene: o después de simplificar: Los términos cota superior O para a y b están dominados por O(a4) + O(b4) a medida que a y b se vuelven pequeños, por lo que se puede escribir esta última expresión como:
