Método de Laplace
En matemáticas, el método de Laplace, llamado así por Pierre-Simon Laplace, es una técnica utilizada para aproximar integrales de la forma dónde
Esta técnica fue presentada originalmente en el libro de Laplace (1774).
Por eso: A medida que M aumenta, la relación entre
Para enunciar y motivar el método es necesario hacer varias suposiciones.
no es un punto final del intervalo de integración y que los valores
es Luego sólo se necesita un paso más para obtener una distribución gaussiana.
Se puede afirmar, por definición de la segunda derivada, que
es grande, esto crea solo un pequeño error porque el exponente decae muy rápido a partir de
Calculando esta integral gaussiana obtenemos: Una generalización de este método y una extensión a precisión arbitraria la proporciona el libro Fog (2008).
Supongamos que 𝑓(𝑥) es una función que tiene derivadas continuas hasta el segundo orden en el intervalo [𝑎, 𝑏], y que existe un único punto 𝑥₀ en el intervalo (𝑎, 𝑏) que satisface la siguiente condición: Entonces: La aproximación de Laplace a veces se escribe como dónde
De manera análoga al caso univariado, se requiere que la hessiana sea definida negativamente.
En particular, si no hay ningún punto x 0 donde la derivada de
Si se desvanece la función en la línea real, puede ser necesario deformar el contorno de integración a uno óptimo, donde será posible el análisis anterior.
Nuevamente, la idea principal es reducir, al menos asintóticamente, el cálculo de la integral dada al de una integral más simple que pueda evaluarse explícitamente.
Véase el libro de Erdelyi (1956) para una discusión sencilla (donde el método se denomina descensos más pronunciados).
La formulación adecuada para el plano z complejo es para una trayectoria que pasa por el punto de silla en z0.
Nótese la aparición explícita de un signo menos para indicar la dirección de la segunda derivada: no se debe tomar el módulo.
Tenga en cuenta también que si el integrando es meromórfico, es posible que haya que añadir residuos correspondientes a los polos recorridos mientras se deforma el contorno (véase, por ejemplo, la sección 3 del artículo de Okounkov Funciones simétricas y particiones aleatorias).
Una extensión del método de descenso más pronunciado es el llamado método de fase estacionaria no lineal/descenso más pronunciado .
definida sobre ese contorno y un punto especial, como el infinito, se busca una función holomorfa M alejada de C, con salto prescrito a través de C, y con una normalización dada en el infinito.
y por lo tanto M son matrices en lugar de escalares, este es un problema que en general no admite una solución explícita.
Se puede llevar a cabo una evaluación asintótica utilizando el método de fase estacionaria lineal o el descenso más pronunciado.
La fase estacionaria no lineal fue presentada por Deift y Zhou en 1993, fundamentándose en investigaciones previas de Its.
En 2003, Kamvissis, K. McLaughlin y P. Miller desarrollaron un método de descenso más acentuado (específicamente) no lineal, basado en estudios anteriores de Lax, Levermore, Deift, Venakides y Zhou.
En el ámbito no lineal, estos se manifiestan como "curvas S", término que fue definido en un contexto diferente en los años 80 por Stahl, Gonchar y Rakhmanov.
denota la función de distribución normal estándar acumulativa.
hacemos la sustitución t = iu y el cambio de variable
Para obtener la transformada de Laplace bilateral: Luego descomponemos g ( c + ix ) en su parte real y compleja, tras lo cual recuperamos u = t / i .
Vuelva a insertar estos valores para obtener Esta integral tiene la forma necesaria para el método de Laplace con que es dos veces diferenciable: El máximo de
se encuentra en z 0 = 1, y la segunda derivada de
