En general, un sistema con m ecuaciones de primer grado y n incógnitas se puede escribir como donde
Si, por el contrario, los rangos de estas dos matrices son iguales, el sistema debe tener al menos una solución.
La solución es única si y solo si el rango r es igual al número n de variables.
De lo contrario, la solución general tiene n – r parámetros libres, y por lo tanto, en tal caso hay una infinidad de soluciones, que pueden encontrarse imponiendo valores arbitrarios a n – r de las variables y resolviendo el sistema resultante para su solución única.
Una ecuación en diferencias matriciales de primer orden con término constante se puede escribir como donde A es n × n y y y c son n × 1.
Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con términos constantes se puede escribir como Este sistema es estable si y solo si todos los n valores propios de A tienen partes reales negativas.