Fue introducido por primera vez por James Mercer a principios del siglo XX, en el contexto de la resolución de ecuaciones con integrales.
En la teoría de la probabilidad, a veces se hace una distinción entre núcleos definidos positivos, para los cuales la igualdad en (1.1) implica
Téngase en cuenta que esto es equivalente a exigir que cualquier matriz finita construida mediante evaluación por pares,
[2] Varios otros autores hicieron uso de este concepto en las siguientes dos décadas, pero ninguno de ellos usó explícitamente núcleos
Hilbert ideó la definición de un núcleo definido como uno para el cual la integral doble satisface que
Aproximadamente al mismo tiempo, W. H. Young,[4] motivado por una pregunta diferente en la teoría de ecuaciones integrales, demostró que para núcleos continuos la condición (1.1) es equivalente a
Moore estaba interesado en la generalización de ecuaciones integrales y demostró que para cada
jugaron un papel importante fue la teoría de los armónicos en espacios homogéneos, iniciada por E. Cartan en 1929, y continuada por H. Weyl y S. Ito.
en espacios homogéneos es la de Mark Krein[7] que incluye como casos especiales el trabajo sobre funciones d.p.
e irreducibles representaciones unitarias de grupos localmente compactos.
[8] Los núcleos definidos positivos proporcionan un marco que abarca algunas construcciones espaciales básicas de Hilbert.
es denominado espacio de Hilbert con reproducción del núcleo si los funcionales valoración son continuos.
La última propiedad se llama la propiedad de reproducción.El siguiente resultado muestra la equivalencia entre EHRN y la reproducción de los núcleos: Cada núcleo reproductor
Este hecho se puede utilizar para conectar los núcleos d.p.
Es fácil ver[9] que cada mapa de características define un único núcleo d.p.
se deriva de la propiedad del producto interior definido positivo.
y su EHRN correspondiente tienen muchos mapas de características asociados.
como productos internos en espacios de Hilbert propios, o en otras palabras, los núcleos d.p.
En esta sección se discuten los paralelismos entre sus dos ingredientes respectivos, a saber, los núcleos
, se hace referencia a una métrica definida en ese conjunto, es decir, cualquier función de valor no negativo
que satisfaga Un enlace entre distancias y núcleos d.p.
está dada por un tipo particular de núcleo, llamado núcleo definido negativo, caracterizado de la siguiente manera Definición: Una función simétrica
, y es cero solo en este conjunto, entonces su raíz cuadrada es una distancia para
[10] Al mismo tiempo cada distancia no corresponde necesariamente a un núcleo d.n.
de valor no negativo es infinitamente divisible si para cada
induce una pseudométrica, donde la primera restricción en la función de distancia se relaja para permitir que
Hay varias formas diferentes en las que surgen núcleos en la teoría de la probabilidad.
[11] En la literatura sobre experimentos informáticos[12] y otros experimentos de ingeniería, se encuentran cada vez más modelos basados en núcleos d.p., la función núcleo de base radial o el krigeaje.
Otros tipos de aplicaciones que se reducen al ajuste de datos son el prototipado rápido y los gráficos por computadora.
Aplicaciones de los núcleos definidos positivos en varias otras ramas de las matemáticas se encuentran en la integración multivariante, la optimización multivariante y en el análisis numérico y la computación científica, donde se estudian algoritmos rápidos, precisos y adaptables, idealmente desarrollados en entornos informáticos de alto rendimiento.