En matemáticas, los operadores nucleares son una clase importante de operadores lineales introducidos por Alexander Grothendieck en su tesis doctoral.
Están íntimamente ligados al producto tensorial proyectivo de dos espacios vectoriales topológicos (EVT).
En un espacio de Hilbert, los operadores lineales compactos positivos, póngase por caso L : H → H, tienen una descomposición espectral simple descubierta a principios del siglo XX por Fredholm y F. Riesz:[4]Existe una sucesión de números positivos, decrecientes y finitos o convergentes a 0,
; y (3) el elemento ortogonal del subespacio abarcado por
es igual al núcleo de L. [4]Sean X e Y espacios vectoriales (aún no se necesita topología) y sea Bi(X, Y) el espacio de todos los operadores bilineales definidos en
la forma lineal canónica en Bi(X, Y) definida por
denota el espacio dual de Bi(X, Y).
Si Z es cualquier otro espacio vectorial, entonces la aplicación Li(X ⊗ Y; Z) → Bi(X, Y; Z) dada por u ↦ u ∘ 𝜒 es un isomorfismo de espacios vectoriales.
En particular, esto permite identificar el espacio dual de X ⊗ Y con el espacio de formas bilineales en X × Y.
[5] Además, si X e Y son espacios vectoriales topológicos localmente convexos (EVT) y si a X ⊗ Y se le da la topología 𝜋, entonces para cada EVT localmente convexo Z, este aplicación se restringe a un isomorfismo de espacios vectoriales
desde el espacio de aplicaciones lineales "continuas" al espacio de aplicaciones bilineales "continuas".
[6] En particular, el dual continuo de X ⊗ Y puede identificarse canónicamente con el espacio B(X, Y) de formas bilineales continuas en X × Y.
Además, bajo esta identificación, los subconjuntos equicontinuos de B(X, Y) son los mismos que los subconjuntos equicontinuos de
[6] Existe un espacio vectorial canónico que incorpora
Por tanto, tiene una extensión continua a una aplicación
, donde se sabe que esta aplicación no es necesariamente inyectiva.
[7] El rango de este aplicación se denota por
y sus elementos se denominan operadores nucleares.
y la norma en este espacio cociente, cuando se transfiere a elementos de
a través dla aplicación inducida
Por lo tanto, para estudiar aplicaciones nucleares entre espacios de Hilbert basta con restringir la atención a los operadores autoadjuntos positivos R.[12] Sean X e Y espacios de Hilbert y sea N : X → Y una aplicación lineal continua cuyo valor absoluto es R : ' 'X → X.
Son equivalentes los enunciados siguientes: Supóngase que U es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en X y que B es un espacio normado auxiliar acotado equilibrado convexo en Y, siendo X e Y espacios localmente convexos.
Se puede definir el espacio de Banach auxiliar
Dada cualquier aplicación lineal continua
, se obtiene mediante composición la aplicación lineal continua
y de ahora en adelante se usará esta aplicación para identificar
[8] Definición: Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff.
como U sobre todos los entornos equilibrados convexos cerrados del origen en X y los rangos B sobre todos los espacios normados auxiliares acotados en Y, se denota por
[8] Cuando X e Y son espacios de Banach, entonces esta nueva definición de aplicación nuclear es consistente con la original dada para el caso especial, en el que X e Y son espacios de Banach.
A continuación se muestra un tipo de teorema de Hahn–Banach empleado para ampliar aplicaciones nucleares: Sean X e Y espacios localmente convexos de Hausdorff y sea