Paradojas en la teoría de conjuntos
Como esta suposición no puede demostrarse a partir de primeros principios, se introdujo mediante el axioma del infinito, que afirma la existencia del conjunto N de los números naturales.
Se definen dos conjuntos para que "tengan el mismo tamaño" mediante el criterio siguiente: existe una función biyectiva entre los dos conjuntos (es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los elementos de uno y del otro).
Entonces, un número cardinal es, por definición, una clase que consta de "todos" los conjuntos del mismo tamaño.
Se definen dos conjuntos bien ordenados para que tengan el mismo tipo de orden mediante el criterio siguiente: existe una función biyectiva entre los dos conjuntos respetando el orden: los elementos más pequeños se asignan a los elementos más pequeños.
Lo contrario no es cierto en general para conjuntos infinitos: es posible imponer diferentes ordenamientos al conjunto de los números naturales que dan lugar a diferentes números ordinales.
Al formar todos los subconjuntos de un conjunto S (todas las posibles elecciones de sus elementos), se obtiene el conjunto potencia P(S).
Un caso especial del teorema de Cantor demuestra que el conjunto de todos los números reales R no puede enumerarse mediante números naturales.
Había sido discutido por Galileo Galilei y Bernard Bolzano, entre otros.
La evidencia sugiere fuertemente que Cantor tenía bastante confianza en el propio resultado, y que su comentario a Dedekind se refería más bien a sus preocupaciones, entonces aún persistentes, sobre la validez de su demostración.
[5] Sin embargo, la observación de Cantor también serviría muy bien para expresar la sorpresa que tantos matemáticos después de él han experimentado al encontrarse por primera vez con un resultado tan contrario a la intuición.
[3] Sin embargo, la capacidad de ordenar bien cualquier conjunto permite realizar ciertas construcciones que se han denominado paradójicas.
Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski, un teorema ampliamente considerado no intuitivo.
Afirma que es posible descomponer una bola de un radio fijo en un número finito de piezas y luego mover y volver a ensamblar esas piezas mediante traslaciones y rotaciones ordinarias (sin variar la escala), para obtener dos copias de la bola original.
En la teoría de conjuntos, no se considera que un conjunto infinito sea creado mediante algún proceso matemático como "agregar un elemento" que luego se lleva a cabo "un número infinito de veces".
Sin embargo, después de una hora, el depósito debería estar vacío, puesto que para cada bola se conoce el número de la operación en la que ha sido extraída.
Sin embargo, la brecha entre lo muy formalizado y el lenguaje simbólico de estas teorías y el uso informal del lenguaje matemático, da como resultado varias situaciones paradójicas, así como la cuestión filosófica de qué es exactamente de lo que tales sistemas formales realmente se proponen hablar.
Por tanto, el conjunto de todos los números ordinales no puede existir.
En cartas a David Hilbert y a Richard Dedekind, escribió sobre conjuntos inconsistentes, cuyos elementos no pueden considerarse todos juntos, y utilizó este resultado para demostrar que todo conjunto consistente tiene un número cardinal.
El propio Russell explicó esta idea abstracta mediante algunas imágenes muy concretas.
Por tanto, en este buen orden debería haber un primer número real que no sea finitamente definible.
Sea p el nésimo decimal del nésimo número real definido por el conjunto E, y se forma un número N teniendo cero para la parte entera y p+ 1 para el nésimo decimal si p no es igual a 8 o 9, y la unidad si p es igual a 8 o a 9.
Pero N ha sido definido por un número finito de palabras en este párrafo.
Por lo tanto, debería estar en el conjunto E, lo que implica una contradicción.
Sin embargo, el teorema de Cantor demuestra que existen conjuntos no numerables.
Es posible que un conjunto sea no numerable en un modelo de teoría de conjuntos, pero numerable en un modelo más grande (porque las biyecciones que establecen la numeración están en el modelo más grande pero no en el más pequeño).
