Problema de la cabra (geometría)

El problema de la cabra (también conocido como el problema de la cabra pastando en un prado circular)[1] es un conocido problema de matemática recreativa que data del siglo XVIII.

Se publicó por primera vez en 1748, en The Ladies Diary (denominado igualmente Woman's Almanack), editado anualmente en Inglaterra.

El área accesible para el animal tiene la forma de una lente biconvexa asimétrica (véase el croquis que figura con los cálculos), que está delimitada por dos arcos de circunferencia, uno de radio unidad y otro de radio r. Para determinar el área

delimitada por los dos arcos, esta se divide en dos segmentos circulares, que comparten la recta divisoria

es el radio del círculo que representa el prado, y

es el radio del círculo cuyo centro

se encuentra en el borde del otro círculo, siendo

a los que se ha hecho referencia.

Según el teorema de Pitágoras: Tomando

, finalmente se obtiene que Usando dos veces la fórmula (8) para el área de un segmento circular en función de las distancias

, y los radios de cada uno, se tiene que (denominando

después de realizar las operaciones correspondientes se obtiene la fórmula para el área de la lente asimétrica: que imponiendo que

, se simplifica hasta adquirir la forma: Esta ecuación solo se puede resolver numéricamente y da como resultado

, se puede utilizar un procedimiento iterativo, despejando la variable de uno de los términos de la ecuación (10), y realimentando la propia ecuación con los valores sucesivamente obtenidos si el proceso resulta convergente.

En este caso, despejar el tercer sumando no proporciona una iteración convergente, pero despejando el segundo término, la sucesión de iteraciones resultante sí es convergente: Utilizando una hoja de cálculo, e iniciando la primera iteración con el valor semilla

Se puede hallar el radio integrando la mitad derecha de la superficie de la lente, mediante la expresión La ecuación resultante también es trascendente: y tiene la misma solución.

Para obtener una construcción geométrica sencilla que proporciona una solución muy aproximada del problema, se puede proceder de la forma siguiente: Con esta construcción gráfica, el área circular se reduce aproximadamente a la mitad o, en otras palabras, con una longitud de cuerda igual a la longitud

A partir de la imagen o desde la descripción de la construcción anterior, se puede ver que: y por lo tanto de esto se deduce el cateto pequeño del triángulo rectángulo

anteriormente obtenido numéricamente) es de Para hallar el error relativo, se aplica: que con los valores obtenidos, da como resultado: El radio

insertado en la fórmula simplificada del área de la lente para el círculo unitario (con

), descrito anteriormente en la solución con el cálculo del área de la lente, da aproximadamente la mitad del área del prado El área de media pradera (la mitad del área del círculo unidad) es: El error absoluto del área obtenida gráficamente es de: y el error relativo cometido es de: Ejemplo numérico Si el prado circular tuviera un radio de

entonces la cuerda calculada por el método gráfico sería aproximadamente

demasiado larga, y la cabra atada al punto

de exceso sobre la mitad exacta del prado circular.

En el caso tridimensional, se da un punto

en la superficie de una esfera unitaria, y la pregunta es qué longitud debe tener el radio

La parte de la esfera unitaria a la que puede llegar el animal tiene la forma de una lente tridimensional con lados curvos diferentes, delimitada por dos casquetes esféricos.

Esto corresponde a la situación de que el animal está atado a un punto del perímetro de un silo cilíndrico.

En este caso, la superficie a la que puede acceder la cabra consiste en un semicírculo (azul claro) con un radio

(de lo contrario, las dos áreas de color azul oscuro en la parte posterior del silo se superponen).