Problema de los dos cuerpos en la relatividad general

Si se considera que ambas masas contribuyen al campo gravitatorio, como en las estrellas binarias, el problema de Kepler puede resolverse solo aproximadamente.

Cuando los dos cuerpos orbitan entre sí, emiten radiación gravitatoria; esto hace que pierdan energía y momento angular gradualmente, como ilustra el pulsar binario PSR B1913+16.

Se impusieron a modelos anteriores del sistema solar, como los de Claudio Ptolomeo y Nicolás Copérnico.

Voltaire y Émilie du Châtelet fueron los primeros en llamarlas leyes de Kepler.

Casi un siglo después, Isaac Newton había formulado sus tres leyes del movimiento.

A continuación, se planteó la pregunta: ¿cuál debe ser la fuerza que produce las órbitas elípticas observadas por Kepler?

Esta precesión apsidal se observa para todos los planetas que orbitan alrededor del Sol, principalmente debido al achatamiento del Sol (que no es perfectamente esférico) y las atracciones de los otros planetas entre sí.

Tal precesión anómala se observó en la segunda mitad del siglo XIX.

Por ejemplo, algunos físicos propusieron una ley potencial con un exponente que era ligeramente diferente de 2.

En su tratado sobre mecánica celeste, Pierre-Simon Laplace había demostrado que si la influencia gravitatoria no actúa instantáneamente, entonces los movimientos de los planetas mismos no conservarán el impulso (y, en consecuencia, parte del impulso tendría que ser atribuido al mediador de la interacción gravitatorio, en una situación análoga a atribuirle un impulso al medio de la interacción electromagnética.)

Como se ve desde un punto de vista newtoniano, si la influencia gravitatoria se propaga a una velocidad finita, entonces en cualquier situación un planeta es atraído hacia un punto donde el Sol estuvo en un instante anterior, y no hacia la posición instantánea del sol.

Tales intentos fueron realizados por Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) y Arnold Sommerfeld (1910).

No es difícil imaginar un mundo así; de hecho, la Tierra se ajusta a esta descripción: la superficie de la esfera terrestre es curva, por lo que es imposible hacer un mapa plano perfectamente exacto del mundo.

Los sistemas de coordenadas no cartesianos ilustran esto bien; por ejemplo, en las coordenadas esféricas (r, θ, φ), la distancia euclidiana se puede escribir como Otra ilustración sería un mundo en el que los patrones utilizados para medir la longitud no fuesen fiables, porque cambiara su longitud con su posición o incluso su orientación.

En el caso más general, se deben tener en cuenta los términos cruzados cuando se calcula la distancia ds: donde las nueve funciones gxx, gxy,…, gzz constituyen el tensor métrico, que define la geometría del espacio en la geometría de Riemann.

Sin embargo, hay una medida de separación entre dos puntos en el espacio-tiempo -llamada "tiempo propio" y denotada con el símbolo dτ- que es invariante; en otras palabras, no depende del movimiento del observador.

que puede expresarse en coordenadas esféricas como Esta fórmula es la extensión natural del teorema de Pitágoras y, de manera similar, solo se cumple cuando no hay curvatura en el espacio-tiempo.

En la relatividad general, sin embargo, el espacio y el tiempo pueden tener curvatura, por lo que esta fórmula de distancia debe modificarse a una forma más general del mismo modo que se generaliza la fórmula para medir la distancia en la superficie de la Tierra.

La variable q es un múltiplo constante del tiempo propio τ para órbitas en forma de tiempo (que son transitadas por partículas masivas), y generalmente se toma como igual a él.

Para órbitas similares a la luz (o nulas) (que son transitadas por partículas sin masa como el fotón), el tiempo propio es cero y, en sentido estricto, no puede utilizarse como la variable q.

En ese límite, la métrica vuelve a la definida por la teoría de la relatividad especial.

Una estrella enana blanca es mucho más densa, pero incluso aquí la relación en su superficie es de aproximadamente 250 partes en un millón.

La ecuación de movimiento para la partícula que se ha deducido puede reescribirse utilizando la definición del radio de Schwarzschild rs como que es equivalente a una partícula que se mueve en un potencial efectivo unidimensional Los primeros dos términos son energías clásicas bien conocidas, la primera es la energía potencial gravitatoria atractiva newtoniana y la segunda corresponde al energía potencial "centrífuga" repulsiva; sin embargo, el tercer término es una energía atractiva exclusiva de la relatividad general.

Como se muestra a continuación y en el artículo dedicado al vector de Runge-Lenz, esta energía cúbica inversa hace que las órbitas elípticas experimenten una precesión en un ángulo de δφ por revolución donde A es el semieje mayor y e es la excentricidad orbital.

La velocidad de precesión orbital puede deducirse usando este potencial efectivo radial V.

Sin embargo, es inadecuada para las estrellas binarias, en las que las masas pueden ser de magnitud similar.

Cuando este método se aplica al problema de los dos cuerpos sin restricción en sus masas, el resultado es notablemente simple.

Las ecuaciones de Einstein también se pueden resolver en un ordenador utilizando métodos numéricos sofisticados.

Sin embargo, tales cálculos son exigentes porque las ecuaciones generalmente deben resolverse en un espacio de cuatro dimensiones.