Producto de Cauchy

En matemáticas, el producto de Cauchy, (en honor a Augustin Louis Cauchy), de dos series estrictamente formales (aunque no necesariamente convergentes)

por lo general, de números reales o complejos, se define mediante una convolución discreta.

"Formal" significa que las series se manipulan sin prestar atención a aspectos de convergencia.

No es preciso que las series sean convergentes.

Véase por ejemplo Serie de potencias formal.

Es de esperar, que por analogía con las sumas finitas, en el caso en que las dos series fueran convergentes, la suma de la serie infinita

sea igual al producto

de la misma manera en que esto sería correcto cuando cada una de las dos sumas que se multiplican posee un número finito de términos.

En casos suficientemente bien comportados, se cumple con la expresión anterior.

Pero —y este es un punto importante— el producto de Cauchy de dos sucesiones existe aún en el caso de que una o ambas de las series infinitas correspondientes no fueran convergentes.

Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

por definición y por la fórmula binomial.

{\displaystyle \exp(a+b)=\sum _{n=0}^{\infty }C(x,y)(n)}

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula

Sean x, y sucesiones reales.

Franz Mertens demostró que si la serie

converge absolutamente a X entonces el producto de Cauchy de ellas

No es suficiente con que ambas series sean condicionalmente convergentes.

genera una serie condicionalmente convergente pero la sucesión

Ver la demostración a continuación.

( x , y ) ( i )

es convergente entonces existe un entero N tal que para todo

y un entero M tal que para todo

(dado que la serie converge, la sucesión debe converger a 0).

También, existe un entero L tal que si

Por lo tanto, para todos los enteros n mayores que N, M, y L. Por la definición de convergencia de una serie

{\displaystyle \sum C(x,y)\to XY}

Todo lo enunciado en las secciones precedentes es aplicable a las sucesiones de números complejos

Se puede definir también el producto de Cauchy para series en espacios euclídeos

En este caso, se verifica que si dos series convergen en forma absoluta entonces su producto de Cauchy converge en forma absoluta al producto interno de los límites.